Цифровые фильтры произвольного порядка

Описываются КРУ, аналогичным модели АРСС:

	m		m

y_k= ∑ b_ix_k-i + ∑ a_jy_k-j (37)

	i=0		j=1

нерекурсивная часть рекурсивная часть

FIR IIR

m

m

которому соответствует ПФ-ция:

W(z)=(∑ b_iz^-i) / (1+ ∑ a_jz^-j) (38)

	i=0		j=1

Синусный фильтр [НЧ] Баттерворта порядка m и его синтез.

При известном АЧХ²:

A²(w)= 1/(1+[Sin(wt/2)/Sin(BT/2)]^2m) (39)

его синтез сводится к нахождению коэффициентов a_1i и a_2i.

Обозначив

Sin(wt/2)/Sin(BT/2)=S (40)

получим характеристическое уравнение ФБ:

S^2m+1=0 (41)

которое имеет m комплексно-сопряжённых корней

S_i= e ^{± j Θi}; i=1…m (42)

где

Θ_i= (π/m)*[(i-1)+(1/2)] (43)

-фаза. zB: m=6 → Θ₁=15⁰, Θ₂=45⁰,… Θ₆=165⁰ (через 30⁰)

Каждой паре комплексно-сопряжённых корней соответствует фильтр второго порядка, если корень мнимый (Θ=90⁰), то фильтр первого порядка.

Синтез фильтра Баттерворта порядка m заключается в определении коэффициентов фильтров второго (и возможно первого) порядка. При чётком m задача проще. zB: пусть характеристическое уравнение второго порядка

z²+a₁z+a₂=0 (44)

имеет корни

z_1,2= e ^{- α ± j β} (45)

Помножив показатель на –j, найдём

w_1,2=±(B/T)+j(α/T) (46)

По Виету (44) будет:

(z-z₁)(z-z₂)=z²-(z₁+z₂)z +z₁z₂ (47)

или, с учётом (45)

z² - 2e^-α Cosβz + e^-2α = 0 (48)

Сопоставим (48) и (44):

a₁=-2e^-α Cosβ (49)

a₂=e^-2α

Таким образом, паре корней (45) соответствует фильтр второго порядка с коэффициентами (49).

При синтезе ФНЧБ достаточно учесть (m/2) корней выражения (41), расположенных только в первом квадрате КП, поскольку корни (46) имеют положительную мнимую часть, а каждой паре корней, расположенных в первом и втором квадратах соответствует 1 фильтр второго порядка.

Для каждого i-го корня (42) выражение (40) примет вид:

Sin(w_iT/2) / Sin(BT/2)=S_i=e^jΘi (50)

c учётом (46)

Sin((B_i/2)+j(α_i/2))=Sin(BT/2)e^jΘi (51)

Обозначив

p_i=Sin(BT/2)CosΘ (52)

q=Sin(BT/2)SinΘ

получим из (51): p_i²+q_i²=Sin²(BT/2) (53)

Sin((B_i/2)+j(α_i/2))=p_i+jq_i (54)

Уравнение (54) представляет собой частный случай основного уравнения синтеза фильтров:

Sin(U_i+jV_i)=p_i+jq_i (55)

ОУСФ (55) имеет следующее решение:

U_i=arccos(q_i/√D); V_i=lnE; E=√D+ √D+1; (56)

D=(1/2)(-C+√C²+4q_i²); C=1-(p_i²+q_i²)

С учётом (53):

C=1-Sin²(BT/2) (57)

Сопоставим (54) и (55), получим:

-U_i=B_i/2; V_i=α_i/2; α_i=2V_i; B_i=2U (58)

Подставим (58) и (56) в (49), найдём коэффициенты фильтра a_1,i; a_2,i.

a_1,i=-2E^-2(2(q_i²/D)-1)

a_2,i=E^-4; i= 1…(m/2) (59)

Постоянный множитель b₀ определяется из условия k_стат=1

zB: m=4:

W(1)=b₀²/((1+a_1,1+a_2,1)(1+a_1,2+a_2,2))=1, (60)

откуда

b₀=√(1+a_1,1+a_2,1)(1+a_1,2+a_2,2) (61)

Хорошие характеристики в большинстве случаев обеспечивают фильтры с m≥6.

Дата добавления: 2014-01-05