Тен­ден­ции раз­ви­тия

При­ме­не­ние ме­то­да наи­мень­ших ква­д­ра­тов при ис­сле­до­ва­нии

Ана­лиз ди­на­ми­че­с­ких из­ме­не­ний.

Изу­ча­е­мые био­ло­ги­ей яв­ле­ния с те­че­ни­ем вре­ме­ни ча­с­то ме­ня­ют свою ин­тен­сив­ность; из­ме­не­ния эти от­ра­жа­ют­ся на раз­ви­тии яв­ле­ний и при их изу­че­нии не­об­хо­ди­мо учи­ты­вать ве­ли­чи­ну и на­пра­в­ле­ние из­ме­не­ний.

Ме­то­ды ста­ти­сти­ки по­з­во­ля­ют из­ме­рить раз­ме­ры про­изо­шед­ших из­ме­не­ний и ко­ли­че­ст­вен­но оха­ра­к­те­ри­зо­вать на­пра­в­ле­ние их раз­ви­тия. Ко­ли­че­ст­вен­ное из­ме­ре­ние из­ме­не­ний, на­сту­па­ю­щих с те­че­ни­ем вре­ме­ни мо­ж­но про­ве­с­ти при по­мо­щи сле­ду­ю­щих по­ка­за­те­лей:

1. Аб­со­лют­ный уро­вень - фа­к­ти­че­с­кий, ко­ли­че­ст­вен­ный раз­мер изу­ча­е­мо­го яв­ле­ния. Вви­ду то­го, что с те­че­ни­ем вре­ме­ни эти раз­ме­ры из­ме­ня­ют­ся, аб­со­лют­ный уро­вень обы­ч­но да­ет­ся для ка­ж­до­го пе­ри­о­да вре­ме­ни от­дель­но. Аб­со­лют­ный уро­вень яв­ля­ет­ся ос­но­вой для рас­че­та про­из­вод­ных по­ка­за­те­лей: аб­со­лют­ный при­рост, темп ро­с­та и темп при­ро­с­та.

2. Аб­со­лют­ный при­рост - ве­ли­чи­на - раз­ность аб­со­лют­но­го уров­ня в дан­ный пе­ри­од вре­ме­ни и аб­со­лют­но­го уров­ня пре­ды­ду­ще­го пе­ри­о­да. Эта раз­ность мо­жет быть как по­ло­жи­тель­ной, так и от­ри­ца­тель­ной ве­ли­чи­ной.

3. Темп ро­с­та - про­цент­ное от­но­ше­ние ме­ж­ду аб­со­лют­ным уров­нем дан­но­го пе­ри­о­да и аб­со­лют­ным уров­нем пре­ды­ду­ще­го пе­ри­о­да или ка­ко­го-ни­будь дру­го­го пе­ри­о­да при­ня­то­го за ис­ход­ный. В пер­вом слу­чае го­во­рят о по­ка­за­те­лях тем­па раз­ви­тия, вы­чи­с­лен­ных при цеп­ном ос­но­ва­нии, а во вто­ром - о по­ка­за­те­лях, вы­чи­с­лен­ных при по­сто­ян­ном ос­но­ва­нии. По­ка­за­те­ли тем­па раз­ви­тия, вы­чи­с­лен­ные при по­сто­ян­ном ос­но­ва­нии, но­сят так­же на­зва­ние по­ка­за­те­лей на­гляд­но­сти. Ино­гда по­ка­за­те­ли тем­па раз­ви­тия, вы­чи­с­лен­ные при цеп­ном ос­но­ва­нии, на­зы­ва­ют­ся по­ка­за­те­ля­ми ди­на­ми­ки или ко­эф­фи­ци­ен­та­ми ро­с­та.

4. Темп прироста - процентное отношение между абсолютным приростом данного периода и абсолютным уровнем предшествующего периода. Абсолютный прирост может быть отрицательным или положительным, отсюда и темп прироста может быть отрицательным или положительным.

Пример 2. Имеются данные о количестве отловленных бабочек с периода 1990 по 1992гг.

Год	Абсолютный уровень	Абсолютный прирост	Темп роста %	Темп прироста %
			при постоянном основании	при цепном основании
		-		-	-
		+20			+85
		+10			+20

В качестве недостатка по­ка­за­те­лей аб­со­лют­но­го при­ро­с­та мо­ж­но ука­зать на то, что их зна­че­ния при­во­дят­ся в аб­со­лют­ных име­но­ван­ных чи­с­лах, а это за­труд­ня­ет срав­не­ние раз­ных по­ка­за­те­лей аб­со­лют­но­го при­ро­с­та.

На­при­мер име­ют­ся дан­ные о по­се­ща­е­мо­сти студентов и ко­ли­че­ст­ве ру­чек у них.

1 лек­ция
7 лек­ция
Аб­со­лют­ный при­рост	-20	-9
Темп ро­с­та
Темп при­ро­с­та	-50	-30

Срав­ни­вать чи­сло­вые ве­ли­чи­ны по­ка­за­те­лей аб­со­лют­но­го при­ро­с­та нель­зя вви­ду то­го, что срав­ни­вать бы при­шлось раз­но­род­ные ве­ли­чи­ны; ру­ч­ки и сту­ден­тов. По­ка­за­те­ли аб­со­лют­но­го при­ро­с­та не мо­гут по­э­то­му от­ве­тить на во­п­рос, в ка­ком из рас­сма­т­ри­ва­е­мых яв­ле­ний про­цесс раз­ви­тия про­те­ка­ет бо­лее ин­тен­сив­но и где он ме­д­лен­нее. Для боль­шей на­гляд­но­сти поль­зу­ют­ся по­ка­за­те­ля­ми тем­па ро­с­та и тем­па при­ро­с­та. Они по­з­во­ля­ют про­сле­дить про­цесс из­ме­не­ния изу­ча­е­мых яв­ле­ний, вы­ра­жен­ный в от­но­си­тель­ных ве­ли­чи­нах. Так как от­но­си­тель­ные ве­ли­чи­ны не име­но­ван­ные чи­с­ла, их мо­ж­но срав­ни­вать ме­ж­ду со­бой.

До­воль­но ча­с­то име­ет­ся не­об­хо­ди­мость в обоб­ща­ю­щей ха­ра­к­те­ри­сти­ке по­ка­за­те­лей ди­на­ми­ки изу­ча­е­мых яв­ле­ний. Для этой це­ли ис­поль­зу­ет­ся це­лый ряд сред­них ве­ли­чин, на­зы­ва­е­мых хро­но­ло­ги­че­с­ки­ми, так как они вы­чи­с­ля­ют­ся из ди­на­ми­че­с­ких хро­но­ло­ги­че­с­ких ря­дов. Из­ве­ст­ны так на­зы­ва­е­мые по­ка­за­те­ли сре­д­не­го уров­ня, сре­д­не­го при­ро­с­та, сре­д­не­го тем­па ро­с­та и сре­д­не­го тем­па при­ро­с­та.

По­ка­за­тель сре­д­не­го уров­ня да­ет све­де­ния о сре­д­нем раз­ме­ре или объ­е­ме изу­ча­е­мых яв­ле­ний и слу­жит ти­пи­ч­ным пред­ста­ви­те­лем для всех пе­ри­о­дов, пред­ста­в­лен­ных в ди­на­ми­че­с­ком ря­ду. Вы­чи­с­лять по­ка­за­тель сре­д­не­го уров­ня не име­ет смы­с­ла то­г­да, ко­г­да тен­ден­ция раз­ви­тия вы­ри­со­вы­ва­ет­ся до­с­та­то­ч­но яс­но.

Тех­ни­ка вы­чи­с­ле­ния по­ка­за­те­лей сре­д­не­го уров­ня раз­ли­ч­на в за­ви­си­мо­сти от то­го, из ка­ко­го ди­на­ми­че­с­ко­го ря­да бу­дут вы­чи­с­лять­ся эти по­ка­за­те­ли - ин­тер­валь­но­го или мо­мент­но­го.

В ин­тер­валь­ном ста­ти­сти­че­с­ком ря­ду по­ка­за­тель сре­д­не­го уров­ня - сред­няя ариф­ме­ти­че­с­кая ве­ли­чи­на, по­лу­чен­ная пу­тем ус­ред­не­ния от­дель­ных по­ка­за­те­лей аб­со­лют­но­го уров­ня. (при­мер) По­ка­за­тель сре­д­не­го уров­ня обо­з­на­ча­ет­ся Y (в от­ли­чие от X - сим­во­ла сред­ней ве­ли­чи­ны, вы­чи­с­лен­ной из ва­ри­а­ци­он­но­го ря­да). Y=SY/n. Y - сред­няя хро­но­ло­ги­че­с­кая.

В мо­мент­ном ста­ти­сти­че­с­ком ря­ду тех­ни­ка вы­чи­с­ле­ния по­ка­за­те­ля сре­д­не­го уров­ня сле­ду­ю­щая: сна­ча­ла вы­чи­с­ля­ют аб­со­лют­ный уро­вень изу­ча­е­мо­го яв­ле­ния, от­но­ся­ще­го­ся к се­ре­ди­не ка­ж­до­го из ин­тер­ва­лов. По­лу­чен­ные ве­ли­чи­ны ус­ред­ня­ют.

При­мер 3. Име­ют­ся дан­ные от чи­с­лен­но­сти зай­цев на 31.12. ка­ж­до­го го­да. Тре­бу­ет­ся най­ти сре­д­не­го­до­вое чи­с­ло зай­цев за весь рас­сма­т­ри­ва­е­мый пе­ри­од.

Год	на 31.12	на 1.7
		-

Для это­го сна­ча­ла на­хо­дят сред­ние чи­с­ла зай­цев для ка­ж­до­го ка­лен­дар­но­го го­да. За­тем вы­чи­с­ля­ют сред­нюю из най­ден­ных ве­ли­чин, яв­ля­ю­щу­ю­ся по­ка­за­те­лем сре­д­не­го­до­во­го уров­ня. Оба эти эта­па ра­бо­ты по вы­чи­с­ле­нию сре­д­не­го­до­во­го уров­ня мо­гут быть пред­ста­в­ле­ны в ви­де сле­ду­ю­щей фор­му­лы:

=(100+180+160+180+100)/8=720/8=90, где Yi - по­ка­за­те­ли аб­со­лют­но­го уров­ня изу­ча­е­мо­го яв­ле­ния к кон­цу ка­ж­до­го из ин­тер­ва­лов вре­ме­ни; n - чи­с­ло ин­тер­ва­лов.

При­ве­ден­ная фор­му­ла для вы­чи­с­ле­ния хро­но­ло­ги­че­с­ких сред­них мо­мент­но­го ста­ти­сти­че­с­ко­го ря­да от­но­сит­ся толь­ко к рав­но­ве­ли­ким ин­тер­ва­лам вре­ме­ни. В про­тив­ном слу­чае хро­но­ло­ги­че­с­кую сред­нюю не­об­хо­ди­мо вы­чи­с­лять как сред­нюю взве­шен­ную, где ве­са - дли­тель­ность от­дель­ных ин­тер­ва­лов.

На пра­к­ти­ке ча­с­то при­ме­ня­ют и дру­гой обоб­ща­ю­щий по­ка­за­тель, при по­мо­щи ко­то­ро­го мо­ж­но по­лу­чить пред­ста­в­ле­ние о ди­на­ми­ке изу­ча­е­мо­го яв­ле­ния. Это по­ка­за­тель сре­д­не­го тем­па ро­с­та. При по­мо­щи по­ка­за­те­ля сре­д­не­го тем­па ро­с­та по­лу­ча­ют све­де­ния о сред­ней ве­ли­чи­не тем­па, с ко­то­рым про­хо­ди­ли из­ме­не­ния, от­ме­чен­ные за оп­ре­де­лен­ное вре­мя. По­ка­за­те­ли тем­па ро­с­та яв­ля­ют­ся от­но­ше­ни­ем аб­со­лют­но­го уров­ня те­ку­ще­го пе­ри­о­да к аб­со­лют­но­му уров­ню ка­ко­го-ни­будь дру­го­го ба­зи­с­но­го пе­ри­о­да. Для из­ме­ре­ния сре­д­не­го тем­па ро­с­та не­об­хо­ди­мо вы­чи­с­лять сред­нюю гео­ме­т­ри­че­с­кую., где Y - ус­ред­ня­е­мые ве­ли­чи­ны, по­ка­зы­ва­ю­щие темп ро­с­та в от­дель­ные ин­тер­ва­лы вре­ме­ни; n - чи­с­ло этих ин­тер­ва­лов, R - про­из­ве­де­ние.

Год	на 31.12	темп роста на цепном основании
		-
		111.1

==103%. Приведенный способ вычисления Y затруднителен из-за большого объема вычислительной работы. Поэтому рекомендуется пользоваться логарифмами чисел темпов роста. Для этого логарифмируют исходную формулу и получают. logY_г=SlogY/n.

Раз­ви­тие изу­чае­мых яв­ле­ний мо­жет быть оха­рак­те­ри­зо­ва­но из­ме­не­ния­ми, на­сту­паю­щи­ми в них с те­че­ни­ем вре­ме­ни. Из­ме­не­ния в яв­ле­ни­ях на­сту­па­ют в ре­зуль­та­те ком­би­ни­ро­ван­но­го дей­ст­вия мно­гих раз­но­об­раз­ных фак­то­ров. Их мож­но раз­де­лить на 2 ос­нов­ные груп­пы: дли­тель­но дей­ст­вую­щие и вре­мен­но дей­ст­вую­щие.

Дли­тель­но дей­ст­вую­щие фак­то­ры оп­ре­де­ля­ют тен­ден­цию раз­ви­тия, а вре­мен­но дей­ст­вую­щие - затушевывают ее и вно­сят в нее эле­мен­ты слу­чай­но­сти.

Ста­ти­сти­ка да­ет воз­мож­ность ко­ли­че­ст­вен­но оха­рак­те­ри­зо­вать влия­ние, ока­зы­вае­мое эти­ми дву­мя груп­па­ми фак­то­ров, на из­ме­не­ния изу­чае­мых яв­ле­ний. Ра­зу­ме­ет­ся за­ра­нее нуж­но оп­ре­де­лить ка­кие из фак­то­ров мо­гут быть от­не­се­ны к дли­тель­но дей­ст­вую­щим и ка­кие - к вре­мен­но дей­ст­вую­щим и толь­ко то­гда ста­вить за­да­чу чи­сло­во­го оп­ре­де­ле­ния их воз­дей­ст­вия.

Для оп­ре­де­ле­ния воз­дей­ст­вия на­зван­ных двух групп фак­то­ров по­сту­па­ют сле­дую­щим об­ра­зом: ис­хо­дя из из­вест­ных тео­ре­ти­че­ских пред­по­ло­же­ний о тен­ден­ции раз­ви­тия, изо­ли­ру­ют влия­ние вре­мен­но дей­ст­вую­щих слу­чай­ных при­чин и на­хо­дят так на­зы­вае­мые тео­ре­ти­че­ские ве­ли­чи­ны - Yt. Это те ве­ли­чи­ны изу­чае­мо­го яв­ле­ния, ко­то­рые име­лись бы в ка­ж­дом из рас­смат­ри­вае­мых ин­тер­ва­лов вре­ме­ни, ес­ли бы бы­ло ис­клю­че­но дей­ст­вие слу­чай­но дей­ст­вую­щих фак­то­ров. Сле­до­ва­тель­но, ве­ли­чи­ны Yt от­ра­жа­ют влия­ние дли­тель­но дей­ст­вую­щих фак­то­ров. Так как на фак­ти­че­ские ве­ли­чи­ны Y ока­зы­ва­ли влия­ние на­ря­ду с дли­тель­но дей­ст­вую­щи­ми фак­то­ра­ми и вре­мен­но дей­ст­вую­щие, раз­ность фак­ти­че­ски на­блю­дае­мых ве­ли­чин и тео­ре­ти­че­ски ожи­дае­мых (Y-Yt) ука­зы­ва­ет на раз­мер дей­ст­вия вре­мен­но дей­ст­вую­щих слу­чай­ных фак­то­ров. Та­ким об­ра­зом, при по­мо­щи Yt ко­ли­че­ст­вен­но оп­ре­де­ля­ют дей­ст­вие дли­тель­но дей­ст­вую­щих, а при по­сред­ст­ве раз­но­сти (Y-Yt) - дей­ст­вие вре­мен­но дей­ст­вую­щих фак­то­ров.

Про­цесс рас­че­та тео­ре­ти­че­ски ожи­дае­мых ве­ли­чин Yt но­сит на­зва­ние “вы­рав­ни­ва­ние ди­на­ми­че­ских ря­дов”. В це­лях вы­рав­ни­ва­ния поль­зу­ют­ся сле­дую­щи­ми ме­то­да­ми.

1. Гра­фи­че­ский ме­тод.

2. Ме­тод уд­ли­не­ния пе­рио­дов.

3. Ме­тод сколь­зя­щей сред­ней.

4. Ме­тод наи­мень­ших квад­ра­тов.

Мы рас­смот­рим эти спо­со­бы вы­рав­ни­ва­ния ис­поль­зуя один об­щий при­мер.

При­мер 1. Име­ют­ся сле­дую­щие дан­ные о чис­ле по­пу­ля­ции кро­ко­ди­лов с 1985 по 199­5гг. Тре­бу­ет­ся вы­явить тен­ден­цию ко­ле­ба­ния чис­лен­но­сти и ко­ли­че­ст­вен­но оп­ре­де­лить влия­ние дли­тель­но дей­ст­вую­щих и вре­мен­но дей­ст­вую­щих фак­то­ров.

Год	Чис­ло	Гра­фи­че­ский ме­тод		Уд­ли­не­ние пе­рио­дов	Сколь­зя­щая сре­6д­няя	Ме­тод наи­мень­ших квад­ра­тов
		Yt	Y-Yt			Y	Y-Yt
			-20
			-3
			-5
			-15

Гра­фи­че­ский ме­тод. Пер­во­на­чаль­но на ли­ней­ной диа­грам­ме изо­бра­жа­ют гра­фи­че­ски фак­ти­че­ские чис­ла ко­ли­че­ст­ва кро­ко­ди­лов. По­лу­ча­ют ло­ман­ную ли­нию, изо­бра­жаю­щую тен­ден­цию из­ме­не­ния их чис­лен­но­сти. За­тем от ру­ки или при по­мо­щи ли­ней­ки, ле­ка­ла и т.п., сле­дуя фак­ти­че­ским дан­ным вы­чер­чи­ва­ют пря­мую или кри­вую ли­нию. Эта ли­ния по­зво­ля­ет уви­деть об­щую тен­ден­цию раз­ви­тия. Оп­ре­де­ляя по этой ли­нии ве­ли­чи­ны со­от­вет­ст­вую­щих ин­тер­ва­лов, на­хо­дят тео­ре­ти­че­ски ожи­дае­мые величины Yt. Они ха­рак­те­ри­зу­ют влия­ние дли­тель­но дей­ст­вую­щих фак­то­ров. Влия­ние вре­мен­но дей­ст­вую­щих фак­то­ров мож­но вы­ра­зить количественно раз­но­стью фак­ти­че­ских и тео­ре­ти­че­ски ожи­дае­мых ве­ли­чин.

Пре­иму­ще­ст­во опи­сан­но­го гра­фи­че­ско­го ме­то­да со­сто­ит в том, что его мож­но при­ме­нять лег­ко и бы­ст­ро. Не­дос­та­ток его в том, что в оцен­ке тен­ден­ции раз­ви­тия ска­зы­ва­ет­ся не­ко­то­рый субъ­ек­ти­визм то­го, кто при­ме­нял этот ме­тод.

Метод удлинения периодов. В целях устранения резких отклонений в величинах динамического рядов в отдельные годы производится объединение, укрупнение периодов. Для объединенных периодов вычисляют средние хронологические величины, которые наносят на линейную диаграмму. Через них проводят линию, график которой дает возможность по ординате получить теоритически ожидаемые величины.

Метод удлиненных периодов является попыткой улучшить графический метод выравнивания динамических рядов.

При использовании метода удлинения периодов возникает вопрос о количестве лет, объединяемых вместе. В рассматриваемом примере приняты двухлетние периоды. При определении того, какой должен быть укрупненный период, следует провести анализ изучаемых числовых величин и в соответствии с результатами подобрать наиболее подходящее укрупнение. Следует отметить, что при этом также сказывается субъективная оценка исследователя.

При пользовании методом удлинения периодов теряется часть сведений о теоретически ожидаемых величинах. Например при двухлетнем укрупнении теряются сведения о первом годе. При трехлетнем - о первом и двух последних и т.д.

Метод скользящей средней. При нем тенденция развития представлена последовательной серией сплетающихся средних. Эти средние представляют теоретически ожидаемые величины Yt и вычисляются следующим образом. Например, если приняты трехлетние периоды для усреднения, то первая средняя получается путем усреднения фактических чисел первого, второго и третьего годов, полученная величина будет относиться ко второму году. Вторая средняя получается путем усреднения второго, третьего и четвертого годов, полученная величина будет относиться к третьему году и т.д.

Легко заметить, что при методе скользящей средней теряется часть сведений, также как при методе удлинения периодов. При определении числа лет для усреднения фактических чисел не малую роль играет и субъективизм исследователя.

Метод наименьших квадратов. Этот метод преследует ту же цель, что и описанные выше три метода: устранить влияние временно действующих факторов и выявить тенденцию развития, вызванную только действием длительно действующих причин. Тенденцию развития лучше всего можно выразить линией, наиболее близкой к фактическим данным, это достигается методом наименьших квадратов, называемым так потому, что сумма возведенных в квадрат разностей фактических чисел - Y и теоретически ожидаемых - Yt - наименее велика, т.е. S(Y-Yt)²®S_min. Этому условию в каждом конкретном случае отвечает только одна линия, поэтому метод наименьших квадратов можно считать наиболее объективным способом выявления тенденции развития и рекомендовать его для широкого применения.

Для того, чтобы применить способ наименьших квадратов, следует проделать следующие этапы работы.

Сначала, после соответствующей оценки характера развития и изменений изучаемых явлений, производят выбор подходящего вида и характера линий, наиболее соответствующей тенденции развития. Например, если тенденция развития прямолинейна, то точнее всего ее представить при помощи прямой линии, уравнение которой: Yt=a+bx. Если тенденция криволинейна, вначале восходящая, а затем нисходящая, то ее можно представить в виде параболы второй степени с уравнением: Yt=a+bx+cx².

На следующем этапе для получения числовых значений параметров a, b, c, d и т.д. составляют систему уравнений. При решении системы уравнений получают конкретные числовые значения параметров. Если в уравнении линии, соответствующей по своему характеру тенденции развития, имеется два неизвестных параметра, применяется система двух уравнений. Например, для прямой Yt=a+bx применяется система двух уравнений, для параболы второй степени система трех уравнений и т.д.

В зависимости от того, сколько параметров имеет линия, выражающая основную тенденцию развития, столько уравнений требуется решить.

На третьем этапе работы после решения системы уравнений и получения конкретных числовых значений параметров, определяющих место соответствующей линии в системе координат, путем ряда последовательных подстановок в уравнения полученных величин X (условно принята нумерация периодов) получают теоретически ожидаемые величины Yt. Истолкование результатов при этом аналогично описанному при других способах выравнивания динамических рядов. Разность фактических наблюдаемых величин - Y и теоретически ожидаемых - Yt указывает количественно влияние временно действующих - случайных причин.

Давайте технику применения метода наименьших квадратов при использовании разных видов линий, выявляющих тенденцию развития, проиллюстрируем следующими примерами.

Прямолинейное выравнивание - несокращенный метод. О многих явлениях, являющихся объектом изучения науки можно сказать, что изменения в них с течением времени протекают прямолинейно, т.е. их развитие можно представить в виде прямой, уравнение которой: Yt=a+bx.

Например, рассмотренный нами пример по праву можно отнести к нисходящим прямолинейным. Это позволяет выразить тенденцию развития популяции в виде прямой. Система уравнений при помощи которых определяются параметры, следующая:

SY=Na+bSX

SXY=aSX+bSX²

где Y - фактические числовые величины изучаемого явления за каждый из периодов.

X - условная нумерация периодов. Эта нумерация обычно начинается с нуля и идет в естественном порядке чисел - 0,1,2,3,4, и т.д.

N - численность изучаемых периодов.

Используя приведенные ранее данные, получаем следующее.

Год	Y	X	XY	X^2	Yt=a+bx
					105.2
					100.4
					95.6
					90.8
					81.2
					76.4
					71.6
					66.8

Для того, чтобы найти параметры a и b, необходимо составить систему двух уравнений.

892=10a+45b

3615=45a+285b

Решая эти уравнения получаем a=110, b=-4.8

Yt=a+bx=110-4.8x

Замещая x в этом уравнении соответствующими числовыми величинами, определяющими порядковый номер изучаемых периодов, получаем выравненные величины - Y, те, которые были бы получены, если бы на популяцию крокодилов действовали только длительно действующие факторы.

Параметр b обозначает снижение или увеличение теоретически ожидаемых величин в течение одного из периодов и называется коэффициентом регрессии. Наименование это дал Гальтон, изучавший корреляцию роста родителей и их потомства. Так как Гальтон выявил нисходящую тенденцию в изменении роста высоких родителей и их потомства (коэффициент b с отрицательным знаком), то назвал он его коэффициентом регрессии. Это наименование остается за коэффициентом b и тогда, когда он имеет положительное значение.

Прямолинейное выравниевание - сокращенный способ - нечетное количество периодов. В нашем примере, иллюстрировавшим применение метода наименьших квадратов, были использованы абсолютные числа крокодилов. Гораздо более позавательное значение имеют производные статистические показатели - относительные величины, средние величины и т.п. Например, если вы изучете действие каких-то веществ на организм, то на абсолютные величины количества, допустим умерших животных, оказывает влияние количество животных, подвергнутых воздействию. Поэтому, в таких случаях удобнее пользоваться относительными величинами, выраженными в процентах.

Давайте разберем применение сокращенного способа выравнивания динамических рядов. Этот способ применяется тогда, когда ряд имеет нечетное колическтво периодов. Особенность его в том, что за начальный год X=0 принимается не первый год, а центральный. Нумерация остальных годов идет в естественном порядке чисел 1, 2, 3 и т.д., но номера более ранних лет до центрального имеют отрицательный знак, а после него положительный. Вследствие этого упрощается система уравнений:

SY=Na

SXY=bSX²

отсюда параметры a и b принимают значения (см. по формуле), что освобождает от необходимости решать систему уравнений.

Пример 2. Имеются следующие данные о заболеваемости гриппом за 1986-1994г.

Год	Y	X	XY	X^2	Yt
	4,7	-4	-18,8		8,22
	29,4	-3	-88,2		36,15
		-2	-122		64,08
	79,1	-1	-79,1		92,01
	152,1				119,94
	161,3		161,3		147,87
	166,5				175,81
	211,8		635,5		203,74
	213,6		854,4		231,68
	1079,5		1676,1		1079,5

a=119.94 b=27.93

Прямолинейное выравнивание - сокращенный способ - четное число периодов. Приведенный способ наименьших квадратов при четном числе периодов встречает затруднение из-за отсутствия центрального периода, который можно было бы принять за начальный. В этом случае начальным моментом считают тот, который находится между двумя центральными, так как данные динамического ряда относятся к середине периода. Если мы имеем интервалы в годах, то для того, чтобы работать с целыми числами эти интервалы переводят в полугодовые.

Не всегда можно представить тенденцию развития явлений при помощи прямой, так как тенденция развития в ряде случаев криволинейна и прямая линия не подходит для ее характеристики. В таких случаях пользуются различными кривыми: параболами, гиперболами, экспоненциальными и т.д.

Парабола - одна из элементарных кривых. Параболой первой степени является прямая линия. Парабола второй степени имеет следующее уравнение: Yt=a+bx+cx²

а параболы третьей степени: Yt=a+bx+cx²+dx³.

Для решения этих уравнений надо найти значения a, b, c, d и т.д. Для этого надо решить соответствующую систему уравнений:

SY=Na+bSX+cSX²

SXY=aSX+bSX²+cSX³

SX²Y=aSX²+bSX³+cSX⁴

Техника решения подобных уравнений и построения графика принципиально ничем не отличается от разобраных ранее примеров. Аналогично можно применять сокращенные способы для четного количества периодов и нечетного количества периодов.

В случаях, когда количество интервалов велико можно прибегать к сглаживанию по трем, пяти, семи, девяти и т.д. точкам.

Например, сглаживание по 5 точкам выглядит так:

Yt=Xn-2+2Xn-1+3Xn+2Xn+1+Xn+2

по 9 точкам:

Yt=Xn-4+2Xn-3+3Xn-2+4Xn-1+5Xn+4Xn+1+3Xn+2+2Xn+3+Xn+4

Следует отметить, что данный метод можно применять не зная какие факторы оказывают длительное, а какие временное воздействие. Однако, можно заметить, что при таком способе сглаживания теряются начальные и конечные периоды.

Дата добавления: 2014-01-05