Множественный корреляционный анализ

Как правило экономический процесс описывается числом показателей, более двух, т.е. вектором случайных величин:

X=(X₁, X₂….., X _j …., X_m)

j - номер показателя (фактора)

2.4.1. Корреляционная матрица

Пусть совокупность {X j } имеет совместный нормальный закон распределения. Тогда, как и ранее, взаимосвязь между двумя показателями X i и X j можно описать коэффициентом парной линейной корреляции T ij. Множество всех возможных сочетаний{ T ij }, i,j =образует квадратную корреляционную матрицу:

(2.11)

Отметим важные свойства корреляционной матрицы

1). Все диагональные элементы этой матрицы равны единице:

daig K = T ji = 1

2). Корреляционная матрица – симметричная, т.е. ее элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны друг другу:

T ij = T ji,

так как произведение в формуле (2.4) для T ij не зависит от порядка следования сомножителей.

2.4.2. Выборочный коэффициент множественной корреляции

Коэффициент множественной корреляции определяет тесноту связи одного показателя с совокупностью остальных (n-1) показателей при их одновременном действии:.

(2.12)

K jj – алгебраическое дополнение элемента T jj матрицы К.

Коэффициент множественной корреляции изменяется от 0 до +1, т.е. всегда неотрицателен.

2.4.3. Частный коэффициент корреляции

Частный коэффициент корреляции служит количественной мерой связи случайных величин Xi и Xj при условии исключения влияния других случайных (m-2) величин, т.е. при их фиксации.

Выборочная оценка коэффициента частной корреляции определяется по формуле:

(2.13)

где K ij, K jj – алгебраическое дополнение соответствующих элементов матрицы К.

Частный коэффициент корреляции так же, как и парный коэффициент линейной парной корреляции, изменяется от -1 до + 1, т.е. может быть отрицательным.

Гипотеза о значимости частного коэффициента корреляции проверяется так же, как и для парного коэффициента корреляции:

H₀: t_r < t_таб(a; N-2)?

2.4.4. Коэффициент детерминации

Коэффициент детерминации равен квадрату множественного коэффициента корреляции и показывает: какую долю общей дисперсии исследуемого показателя Xj объясняет (формирует) вариация всех остальных (n-1) показателей X₁,X₂,…,X_n при их совместном действии:

(2.14)

2.4.5. Оценка значимости множественного коэффициента детерминации

Используется F – статистика Фишера для R²:

(2.15)

где, m – число компонент вектора ; N – число опытов.

Проверяется нуль гипотеза:

H₀: F = 0;

если то коэффициент множественной корреляции незначим (гипотеза Н₀ принимается);

если то R² значим (гипотеза Н₀ отвергается);

– n₁– число степеней свободы для числителя; n₂ – число степеней свободы для знаменателя (n₁=m-1; n₂=N-m) дроби (2.15).

2.4.6. Индекс корреляции при нелинейной связи двух случайных величин

Слово «индекс» здесь понимается в смысле «отношения» [ ]. Поэтому употребляется и другой термин для этой числовой меры: «корреляционное отношение».

Пусть две случайные величины X и Y связаны в среднем нелинейным функциональным уравнением вида:

(2.16)

Например:

Функция f (x) должна быть априори известна.

(2.16)

Тогда выборочная оценка индекса корреляции равна [ ]:

(2.17)

Практическая формула для индекса корреляции [ ]:

(2.18)

Здесь:

– дисперсия остатков уравнения регрессии;

– общая дисперсия как мера разброса наблюдений вокруг среднего.

Заметим, что при подстановке и под корень в уравнении (2.18) и условии (N-m)»(N-1) при больших N степени свободы и их можно сократить, откуда следует упрощенная приближенная расчетная формула.

(2.20)

Эта формула допускает наглядное толкование: чем сильнее стохастическая связь в уравнении (2.16), тем меньше доля дисперсии по отношению к общей дисперсиии больше индекса корреляции .

2.4.7. Индекс множественной корреляции

Пусть построено нелинейное уравнение множественной регрессии:

(2.20)

Тогда использую простую формулу (2.20), можно получить индекс множественной корреляции

(2.21)

Соответственно квадрат этого индекса даст множественный индекс детерминации в нелинейном случае.

Дата добавления: 2014-01-05