Матричная форма метода наименьших квадратов

3.3.1.Уравнение наблюдений в матричной форме

Запишем наблюдения в каждой точке i:

(3.4)

Введем в рассмотрение матрицу плана наблюдений или матрицу базисных функций (не путать с вектором ).

(3.5)

Тогда при условии линейного вхождения вектора параметров в модель, получим:

(3.6)

Справедливость уравнения (3.6) проверяется переводом уравнения (3.6) в скалярную форму по правилу умножения матрицы X на вектор .

В уравнении наблюдений (3.6)

= (b ₀ ,b ₁ ,….,b _j ,….b _n); - n – мерный вектор оцениваемых параметров;

= (e₀,e₁,….,e_j,….e_n); - N – мерный вектор остатков;

= (y ₀ ,y ₁ ,….,y _j ,….y _n); - N – мерный вектор наблюдений.

Замечание: Если структура модели нелинейна по , т.е. входит в базисную функцию, то записать уравнение (3.6) невозможно и классический метод наименьших квадратов непримерим.

3.3.2.Нормальные уравнения регрессии и формула для параметров уравнения

Используем известную формулу из матричной алгебры:

(3.7)

Тогда, опуская стрелки с учетом того, что получаем:

(3.8)

(3.9)

Система нормальных уравнений запишется в виде:

(3.10)

где (X^TX) – матрица нормальных уравнений.

Пусть обратная матрица (X^TX)^-1 существует (она называется информационной матрицей Фишера). Тогда:

В противном случае det(X^TX)^-1=0 и матрица нормальных уравнений необратима.

Если det(X^TX)^-1¹0, но очень мал, то обращаемая матрица плохо обусловлена. Возникает вычислительные проблемы обращения матриц большей размерности.

Дата добавления: 2014-01-05