Линейные уравнения первого порядка. Определение: Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной

Определение: Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной.

Линейное уравнение имеет вид: (1), где , функции - непрерывные функции на .

Уравнение (1) сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными путем искусственного приема. Представим неизвестную функцию в виде произведения двух новых функций: . Одной из функций мы можем распоряжаться как угодно, а вторая функция должна быть определена в зависимости от первой таким образом, чтобы их произведение удовлетворяло уравнению (1).

Пример:

Ищем функцию из условия, что

1)

2) .

Таким образом, решение уравнения: .

Уравнение Бернулли.

К линейным уравнениям часто приводятся уравнения более сложного вида - уравнение Бернулли.

(2)

При уравнение (2) - линейное;

при можно разделить переменные;

при уравнение (2) сводится к линейному следующим образом: делим обе части уравнения (2) на и записываем в таком виде: . Если ввести вспомогательную неизвестную функцию , то . Тогда уравнение (2) примет вид: . Получили линейное уравнение.

Дата добавления: 2014-01-05