Положительные ряды

Ряд называется положительным, когда все его члены .

Эти ряды интересны тем, что для произвольного ряда, рассматривая ряд из абсолютных величин, получим положительный ряд.

. Для положительного ряда кроме критерия Больцано-Коши есть более простой критерий.

Теорема 1. Для положительного ряда:

а) сумма ряда всегда существует, причем ;

б) эта сумма конечна, если множество частичных сумм ограничено сверху, и бесконечна в противном случае.

Теорема 2 (Критерий сходимости положительного ряда).

Для того, чтобы положительный ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы множество его частичных сумм было ограничено.

. Теоремы сравнения для положительных рядов.

Пусть даны два ряда (А) и (В).

Теорема 1. Если, начиная с некоторого номера , выполняется, что , то из сходимости ряда (В) следует сходимость ряда (А) и из расходимости (А) следует расходимость (В).

Теорема 2. Если с некоторого номера выполняется , то из сходимости ряда (В) следует сходимость ряда (А) и из расходимости ряда (А) следует расходимость ряда (В).

Доказательство:

Пусть - выполняется

Теорема 3. Если существует , то:

1) при сходимость ряда (А) равносильна сходимости ряда (В);

2) при из сходимости (В) следует сходимость (А) и из расходимости (А) следует расходимость (В);

3) при из сходимости ряда (А) следует сходимость (В) и расходимости (В следует расходимость (А)).

Для применения признаков сравнения используются ряды, о сходимости и расходимости которых нам известно: в качестве таких рядов часто используют обобщенный гармонический ряд , который .

. Признаки Коши и Даламбера для положительных рядов.

Рассмотрим ряд (А). Будем сравнивать его по теореме 1 с суммой членов геометрической прогрессии (Q). Ряд (Q) сходится при .

Теорема1. Если существует , то:

1) если , ряд сходится;

2) если , ряд расходится;

3) - неопределенный случай.

Теорема 2. Если существует , то:

1) если , ряд сходится;

2) если , ряд расходится;

3) - неопределенный случай.

Примеры:

1)

Исследуем на сходимость по правилу Коши:

ряд сходится.

Дата добавления: 2014-01-05