Исследуем поведение ряда в концевых точках

Теорема 2 (другая формула для радиуса сходимости).

Если существует , то радиус сходимости степенного ряда будет равен или .

Примеры:

1)

2)

ряд сходится абсолютно.

Свойства степенных рядов:

Теорема 1. (о почленном интегрировании).

Степенной ряд можно почленно интегрировать в интервале сходимости, т.е. для любого числа существует интеграл (3).

Ряд (3) называют проинтегрированным рядом; по отношению к исходному ряду (1) ряд (3) тоже является степенным с радиусом сходимости . Ряд (3) сходится во всех точках области сходимости исходного ряда, т.е. .

Пример:

Проинтегрируем данный ряд:

Теорема 2 (о почленном дифференцировании).

В (- внутренняя точка области сходимости) степенной ряд допускает почленное дифференцирование, причем (4).

Ряд(4) называют продифференцированным рядом и .

Следствие: степенной ряд внутри промежутка сходимости допускает почленное дифференцирование любое количество раз.

Пример: найти сумму ряда

при ряд

Продифференцировав данный ряд, получим:

еще раз продифференцируем

Т.к.

Дата добавления: 2014-01-05