Логарифмическая амплитудная частотная характеристика

Комплексная частотная характеристика

Дифференцирующее звено

Сначала рассмотрим идеальное дифференцирующее звено. Дифференциальное уравнение этого звена устанавливает пропорциональность выходной величины скорости изменения входной величины:

. (3.5)

Операторное уравнение: Y (p) = kp X (p).

Передаточная функция

где k – коэффициент, имеющий размерность времени.

Комплексная частотная характеристика

.

Действительная часть U (ω) = 0, мнимая часть V (ω) = k ω.

Амплитудная частотная характеристика

.

Амплитуда растет линейно с частотой.

Фазовый угол для всех частот 90°, что означает постоянное опережение по фазе при любой частоте.

Переходная функция – в ответ на единичное ступенчатое воздействие – имеет вид:

То есть, на выходе появляется единичный импульс, усиленный в k раз.

Осуществить практически идеальное дифференцирующее звено невозможно. Но реализуемы математические модели, в которых присутствует дифференцирующая составляющая dx / dt. Так, если записать в правой части инерционного звена вместо усилительного дифференцирующее воздействие, получается математическая модель, которую называют «реальное дифференцирующее звено».

(3.6)

Операторное уравнение: (Tp + 1) Y (p) = kpX (p).

Передаточная функция

.

.

Действительная и мнимая частотные характеристики

,.

Амплитудная частотная характеристика

.

У идеального дифференцирующего звена с увеличением ω амплитуда линейно возрастает до ∞. У реального дифференцирующего звена амплитуда возрастает монотонно, стремясь к пределу k / T.

Фазовая частотная характеристика

φ(ω) = arctg.

При ω = 0, φ = 90°, как у идеального дифференцирующего звена. Но мере увеличения частоты опережение по фазе уменьшается до нуля.

.

Найдем асимптотические прямые логарифмической амплитудной частотной характеристики. В области ω < 1. В области ω > 1 L ₂ = 20 lg (k / T).

Прямая L ₁ пересекает ординату в точке с координатами lg ω = 0, L ₁ = 20 lg k, абсциссу – в точке с координатами lg ω = lg(1/ k), L ₁ = 0. Cледует учесть, что k > 1 и потому lg (1/ k) – число отрицательное. Прямая L ₂ параллельна оси абсцисс, пересекает ординату в точке lg ω = 0, L ₂ = 20 lg(k / T). Прямые L ₁ и L ₂ пересекаются в точке с абсциссой lg ω = lg (1/ T). График представлен на рис. 3.6.

L (ω)

L ₂

L ₁

Рис. 3.6. Асимптоты ЛАЧХ реального дифференцирующего звена

Чтобы найти переходную функцию, в операторном уравнении заменим X (p) на 1/ p:

.

Таблица преобразований Лапласа указывает, что

.

Значит, переходная функция имеет вид

.

В момент t = 0 h (0) = k / T. По мере увеличения t, функция h (t) экспоненциально уменьшается до нуля. Напомним: в идеальном дифференцирующем звене переходная функция имеет вид импульса.

Дата добавления: 2014-01-05