Для характеристического уравнения

Критерий Гурвица

Пример 5.2.

Записываем операторное уравнение

и передаточную функцию системы:

.

Полиномы числителя и знаменателя имеют вид:

,.

Характеристическое уравнение разомкнутой системы D (p) = 0, то есть,

.

Корни этого характеристического уравнения действительные:

,.

Используя дифференциальное уравнение предыдущего примера, найти характеристическое уравнение и его корни для замкнутой системы.

Подставляя передаточную функцию разомкнутой системы в формулу (5.6), получаем характеристическое уравнение замкнутой системы:

.

Его корни:

.

Они могут быть как действительными (4 kT < 1), так и комплексными (4 kT > 1).

.

составляется специальный определитель по следующему правилу.

Намечают n строк и n столбцов (n – степень характеристического уравнения). В первый строке ставят все нечетные коэффициенты:,,,... По главной диагонали, начиная с коэффициента, слева-вниз-направо располагают последовательно все остальные коэффициенты. Столбцы, начиная с главной диагонали, заполняются вверх по нарастающим индексам, вниз - по убывающим. Все коэффициенты с индексами ниже нуля и выше степени уравнения, заменяют нулями. Получается определитель n -го порядка:

Определитель Δ _n, а так же определители

,,,...,

называют определителями Гурвица.

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы были положительными все коэффициенты и все определители характеристического уравнения системы:

,,, …, > 0,,,, …, > 0.

Получим условия устойчивости для конкретных уравнений.

1. Характеристическое уравнение 2-й степени:

.

Ему соответствует определитель Гурвица 2-го порядка:

=.

Условие устойчивости: ,, > 0, все коэффициенты должны быть положительными.

2. Характеристическое уравнение 3-й степени:

.

Ему соответствует определитель Гурвица 3-го порядка:

=.

Определитель =. Неравенство, после сокращения на, получает вид. То есть,. Условиями устойчивости будут:,.

3. Характеристическое уравнение 4-й степени:

.

Ему соответствует определитель Гурвица 4-го порядка:

=.

Определители второго и третьего порядков имеют вид:

=,

=.

Неравенство, после сокращения на а ₄, получает вид. То есть,. Значит, условиями устойчивости будут:,,.

4. Характеристическое уравнение 5-й степени:

.

Опуская процедуру вычисления определителя, выпишем сразу условия устойчивости:

,

=,

Δ₄ =.

Можно показать, что при соблюдении этих неравенств неравенства > 0 и > 0 всегда выполняются. Поэтому их не включают в условия устойчивости системы пятой степени.

Можно составлять определители Гурвица и для характеристических уравнений более высокой степени, получая соответствующие условия устойчивости. Однако, объем вычислений нарастает с увеличением степени характеристического уравнения, поэтому считается приемлемым пользоваться критерием Гурвица для характеристических уравнений степени не выше пятой.

Определитель Гурвица позволяет найти коэффициент усиления на границе устойчивости. Коэффициент усиления – это свободный член характеристического уравнения, его индекс равен степени уравнения. Границей устойчивости будет условие Δ _{n -1} = 0. Откуда и вычисляется коэффициент усиления.

Пример 5.3.

Дана система, характеристическое уравнение которой имеет вид:

Выяснить, будет ли система устойчивой, если = 1, = 2, = 3, k = 19? Каким должен быть коэффициент усиления на границе устойчивости?

Записываем характеристическое уравнение 3-й степени в общем виде, сопоставляем его с заданным и заключаем:

=, = + +,

= + +, = 1 +k.

Все коэффициенты больше нуля, но надо проверить, будет ли определитель Гурвица больше нуля. Подставив числа в неравенство, обнаруживаем, что оно не выполняется: 66 - 120 < 0. Определитель оказался отрицательным. Следовательно, система неустойчива.

На границе устойчивости. Подставляя числа, имеем: 11 · 6 = 6 (1 + k). Коэффициент усиления на границе устойчивости k = 10.

Дата добавления: 2014-01-05