Корневые показатели

Косвенные показатели качества

Рассмотрим, как влияет на переходной процесс расположение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости. В качестве примера рассмотрим систему, описываемую дифференциальным уравнением третьего порядка.

Характеристическое уравнение имеет три корня и соответствующее решение имеет три слагаемых:

.

Пусть все корни имеют отрицательную действительную часть.

Для действительных корней (р ₁ = – σ₁, р ₂ = – σ₂, р ₃ = – σ₃) кривая у (t) переходного процесса монотонная, рис. 6.3.

Если два корня комплексных и один действительный (р _1,2 = – σ₁ ± j ω₁ , р ₃ = – σ₃), причем действительный расположен ближе к мнимой оси, а комплексные дальше, то кривая переходного процесса приобретает слабо выраженную колебательность, рис. 6.4.

Если комплексные корни р _1,2 = – σ₁ ± j ω₁ располагаются вблизи мнимой оси, а действительный р ₃ = – σ₃ на отдалении, переходной процесс приобретает ярко выраженный колебательный характер, рис.6.5. Чем ближе комплексные корни к мнимой оси, тем медленнее затухают колебания, тем длительнее переходной процесс (больше время t_p). Чисто мнимые корни дают незатухающие гармонические колебания.

0 σ s ss

0 t

ω

y (t)

C

Рис. 6.3. Монотонная кривая переходного процесса

0 σ

ω

t

y (t)

6.4. Апериодический процесс с колебательной составляющей

0 σ

ω

t

y (t)

Рис. 6.5. Затухающий колебательный процесс

По рисункам можно заключить, что точность, время регулирования, перерегулирование и число колебаний зависят от распределения корней характеристического уравнения на комплексной плоскости. Очевидно, количественные соотношения, характеризующие расположение корней, так же будут являться показателями качества регулирования.

Получим связанные с распределением корней показатели качества.

Чем ближе корни к мнимой оси, тем медленнее затухают колебания и увеличивается время регулирования t_p. Значит, ближайший к мнимой оси корень будет влиять больше, чем остальные. Обозначим величину ближайшего к мнимой оси корня через α. На рис. 6.6 это отрезок отрицательной оси абсцисс. И построим переходную функцию (рис. 6.7) по уравнению

0 σ

y (t _p) = Δ

0 t _p t

ω

α

y (t)

y (0)= C

M

Рис. 6.6. Параметр α – запас устойчивости

Рис. 6.7. Переходная функция, связь tp и Δ

В начальный момент y (0) = C. В момент времени t_p кривая пересечет порог нечувствительности. В точке М, где кривая пересекается с прямой y = Δ

.

За время регулирования величина y (t_p) станет меньше в m раз по сравнению с величиной в начальный момент. То есть,

.

Откуда

, или.

Величина действительной части корня, обеспечивающего заданное время регулирования, должна быть:

. (6.6)

Формула (6.6.) дает приближенную оценку α, потому что остались без внимания другие слагаемые полного решения уравнения.

Параметр α представляет собой показатель качества, который называют «запас устойчивости» или «степень устойчивости». Это абсолютное значение действительной части ближайшего к мнимой оси корня.Чем меньше α, тем ближе система к границе устойчивости, тем больше время регулирования. При α = 0 (система на границе устойчивости) время регулирования становится бесконечно большим.

Рассмотрим еще один показатель качества, связанный с распределением корней: угол θ между отрицательной полуосью абсцисс и прямой, проведенной из начала координат к корню с максимальной мнимой частью, рис. 6.8. В этот угол вписывается половина всех наиболее удаленных от мнимой оси корней. Корень с максимальной мнимой частью дает наибольший вклад в колебания. Величину

(6.7)

называют колебательностью системы. Чем меньше угол θ, тем меньше колебательность. В формуле (6.7) есть абсолютная величина действительной части комплексного корня.

q_max

σ

ω

ω

0 σ

Рис. 6.8. Параметр колебательности системы

Пример 6.3.

Найти время регулирования и число колебаний за время регулирования для трех характеристических уравнений:

,

,

.

Требуется, чтобы управляемая величина уменьшилась за время регулирования в е раз (е = 2,718).

1. Корни уравнения будут:

,,

т.е.,,,.

2. Корни уравнения будут:

,,

т.е.,,.

3. Корни уравнения будут:

,,

т.е.,,.

Пример 6.4.

Для переходной функции инерционного звена:

найти, через какое время t _* величина h (t) будет отличаться от своего предельного значения на ε единиц?

Предельное значение h равно k единицам (при t = ∞)

Решение должно подчиняться условию h = k - ε при t = t _* Введем его в переходную функцию

и получим: ε = k exp(– t _* / T). Посредством логарифмирования находим:

.

Пример 6.5.

Передаточная функция системы

.

Найти запас устойчивости и колебательность.

Характеристическое уравнение имеет корни

.

Колебания будут, если < 1.

Сопоставим с общей формулой записи корня: р = σ + j ω.

Выясняется:

,.

Запас устойчивости.

Колебательность.

Дата добавления: 2014-01-05