Точность вычисления площадей графическим способом

Если в треугольнике измерено по плану основание и высота , то погрешность вычисления площади можно найти из выражения

(42)

Погрешности измерения основания и высоты по плану можно считать одинаковыми , тогда с учетом , получим погрешность вычисления площади треугольника

(43)

В случае если получим , но , тогда

(44)

Для трапеции, прямоугольника и параллелограмма обозначим и , тогда погрешность вычисления площади данных фигур составит

(45)

В случае если получим , но , тогда

(46)

Из сравнения формул очевидно, что погрешность вычисления площади треугольника меньше погрешности определения площадей других фигур.

Обозначив , где K – коэффициент вытянутости фигуры, то из (46) получим

. (47)

Так как площадь треугольника и , то

откуда.

Подставив выражение в (50) найдем

(48)

Из анализа формул (47) и (51) видно, что погрешность определения площади вытянутого треугольника по плану больше погрешности определения площади треугольника при в раз. Это заключение верно и для прямоугольника, трапеции и параллелограмма.

Пример. На плане масштаба 1:500 измерены , . Площадь треугольника , , или в масштабе плана 0,2м., . По формуле (51) найдем

, или .

Если основание измерено на местности рулеткой с относительной погрешностью , по формуле (44) получим

Следовательно, погрешность измерения на плане короткого основания снизило точность вычисления площади треугольника в пять раз.

Если площадь многоугольника разбита на треугольников с соотношением , т.е. , то погрешность определения его площади, составит

.

СКП площади каждого треугольника определим по формуле

,

тогда

.

Следовательно, на точность определения площади контура на плане не влияет на сколько треугольников разбит этот контур. Нет необходимости стремиться к тому, чтобы число треугольников было наименьшим, а надо стараться, чтобы выполнялось условие .

Погрешность площади, вычисленной по графическим координатам точек можно рассчитать по формуле

,

в которой СКП измерения координат на плане с помощью измерителя принимают равной .

При измерении площади контура с помощью квадратной или параллельной палетками ее погрешность характеризуется эмпирической формулой

Дата добавления: 2014-01-05