Корректность

Определим вначале понятие устойчивости решения.

Решение задачи y^* называется устойчивым по исходным данным x^*, если оно зависит от исходных данных непрерывным образом. Это означает, что малому изменению исходных данных соответствует малое изменение решения. Строго говоря, для любого e > 0 существует d = d (e) > 0 такое, что всякому исходному данному x^*, удовлетворяющему условию | x - x^* | < d, соответствует приближенное решение y^*, для которого | y – y^* | < e.

Говорят, что задача поставлена корректно, если выполнены следующие три условия:

1. Решение существует при любых допустимых исходных данных.

2. Это решение единственно.

3. Это решение устойчиво по отношению к малым изменениям исходных данных.

Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, задача называется некорректной.

Пример 1.1.

Покажем, что задача вычисления определенного интеграла I = корректна. Пусть f ^*(x) – приближенно заданная функция и I ^* = . Очевидно, приближенное решение I ^* существует и единственно. Определим абсолютную погрешность f ^* с помощью равенства D(f^*) = | f (x) – f^* (x) |. Так как

D(I) = | I – I^* | = || £ (b – a)D(f^*),

то для любого e > 0 неравенство D(I) < e будет выполнено, если будет выполнено условие D (f^*) < d, где d = e / (b – a).

Таким образом, решение I ^* устойчиво. Все три условия корректности задачи выполнены.

Пример 1.2.

Покажем, что задача вычисления производной u (x) = f ' (x) приближенно заданной функции некорректна.

Пусть f ^*(x) – приближенно заданная на отрезке [ a, b ] непрерывно дифференцируемая функция и u^* (x) = (f* (x)) ^'. Определим абсолютные погрешности следующим образом: D(f^*) = | f (x) – f^* (x) |, D(u^*) = | u (x) – u^* (x) |.

Возьмем, например, f^* (x) = f (x) + a sin (x/a ²), где 0 < a < 1. Тогда, u^* (x) = u (x) + a^{- 1} cos (x/a ²), D(u^*) = a^{- 1}, т. е. погрешность задания функции равна a, а погрешность производной равна a^{- 1}. Таким образом, сколь угодно малой погрешности задания функции f может отвечать сколь угодно большая погрешность производной f '.

Дата добавления: 2014-01-05