Постановка задачи. Тема 3. Решение систем линейных алгебраических уравнений

Тема 3. Решение систем линейных алгебраических уравнений

Требуется найти решение системы линейных уравнений:

a ₁₁ x ₁ + a ₁₂ x ₂ + a ₁₃ x ₃ + … + a _{1 n} x_n = b ₁

a ₂₁ x ₁ + a ₂₂ x ₂ + a ₂₃ x ₃ + … + a _{2 n} x_n = b ₂

a ₃₁ x ₁ + a ₃₂ x ₂ + a ₃₃ x ₃ + … + a _{3 n} x_n = b ₃ (3.1)

.

a_{n 1} x ₁ + a_{n 2} x ₂ + a_{n 3} x ₃ + … + a_nnx_n = b_n

или в матричной форме:

Ax = b, (3.2)

где

a ₁₁ a ₁₂ a ₁₃ … a _{1 n} x ₁ b ₁

a ₂₁ a ₂₂ a ₂₃ … a _{2 n} x ₂ b ₂

A = a ₃₁ a ₃₂ a ₃₃ … a _{3 n} x =x _3, b = b ₃

a_{n 1} a_{n 2} a_{n 3} a_nn x_n b_n

По правилу Крамера система n линейных уравнений имеет единственное решение, если определитель системы отличен от нуля (det A 0) и значение каждого из неизвестных определяется следующим образом:

x_j = , j = 1, …, n, (3.3)

где det A _j – определитель матрицы, получаемой заменой j -го столбца матрицы A столбцом правых частей b.

Непосредственный расчет определителей для больших n является очень трудоемким по сравнению с вычислительными методами.

Известные в настоящее время многочисленные приближенные методы решения систем линейных алгебраических уравнений распадаются на две большие группы: прямые методы и методы итераций.

Прямые методы всегда гарантируют получение решения, если оно существуют, однако, для больших n требуется большое количество операций, и возникает опасность накопления погрешностей.

Этого недостатка лишены итерационные методы, но зато они не всегда сходятся и могут применяться лишь для систем определенных классов.

Среди прямых методов наиболее распространенным является метод исключения Гаусса и его модификации, Наиболее распространенными итерационными методами является метод простых итераций Якоби и метод Зейделя.

Эти методы будут рассмотрены в следующих разделах.

Дата добавления: 2014-01-05