Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Вычисление обратной матрицы методом исключения Гаусса




Обратной матрицей к матрице A называется матрица A - 1, для которой выполнено соотношение:

A A - 1 = E, (3.18)

где E – единичная матрица:

1 0 0 … 0

0 1 0 … 0

E = 0 0 1 … 0. (3.19)

0 0 0 … 1

Квадратная матрица A называется невырожденной, если det A ¹ 0. Всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу.

Вычисление обратной матрицы можно свести к рассмотренной выше задаче решения системы уравнений.

Пусть A – квадратная невырожденная матрица порядка n:

a 11 a 12 a 13 … a 1 n

a 21 a 22 a 23 … a 2 n

A = a 31 a 32 a 33 … a 3 n

an 1 an 2 an 3 … ann

и A -1 – ее обратная матрица:

x 11 x 12 x 13 … x 1 n

x 21 x 22 x 23 … x 2 n

A -1 = x 31 x 32 x 33 … x 3 n

xn 1 xn 2 xn 3 … xnn

 

Используя соотношения (3.18), (3. 19) и правило умножения матриц, получим систему из n 2 уравнений с n 2 переменными xij, i, j = 1, 2, …, n. Чтобы получить первый столбец матрицы E, нужно почленно умножить каждую строку матрицы A на первый столбец матрицы A -1 и приравнять полученное произведение соответствующему элементу первого столбца матрицы E. В результате получим систему уравнений:

a 11 x 11 + a 12 x 21 + a 13 x 31 + … + a 1 n xn 1 = 1

a 21 x 11 + a 22 x 21 + a 23 x 31 + … + a 2 n xn 1 = 0

a 31 x 11 + a 32 x 21 + a 33 x 31 + … + a 3 n xn 1 = 0 (3.20)

an 1 x 11 + an 2 x 21 + an 3 x 31 + … + annxn 1 = 0

Аналогично, чтобы получить второй столбец матрицы E, нужно почленно умножить каждую строку матрицы A на второй столбец матрицы A -1 и приравнять полученное произведение соответствующему элементу второго столбца матрицы E. В результате получим систему уравнений:

a 11 x 12 + a 12 x 22 + a 13 x 32 + … + a 1 n xn 2 = 0

a 21 x 12 + a 22 x 22 + a 23 x 32 + … + a 2 n xn 2 = 1

a 31 x 12 + a 32 x 22 + a 33 x 32 + … + a 3 n xn 2 = 0 (3.21)

an 1 x 12 + an 2 x 22 + an 3 x 32 + … + annxn 2 = 0

и т. д.

Всего таким образом получим n систем по n уравнений в каждой системе, причем все эти системы имеют одну и ту же матрицу A и отличаются только свободными членами. Приведение матрицы A к треугольной по формулам (3.7) делается при этом только один раз. Затем по последней из формул (3.7) преобразуются все правые части, и для каждой правой части делается обратный ход.

Пример 3.4.

Вычислим обратную матрицу A -1 для матрицы

A = 1.8 –3.8 0.7 –3.7

0.7 2.1 –2.6 –2.8

7.3 8.1 1.7 –4.9

1.9 –4.3 –4.3 –4.7

 

По формулам (3.7) за три шага прямого хода преобразуем матрицу A в треугольную матрицу

 

1.8 –3.8 0.7 –3.7

0 3.57778 –2.87222 –1.36111

0 0 17.73577 19.04992

0 0 0 5.40155

 

Далее, применим процедуру обратного хода четыре раза для столбцов свободных членов, преобразованных по формулам (3.7) из столбцов единичной матрицы:

               
       
 


1 0 0 0

0 1 0 0

0, 0, 1, 0

0 0 0 1

 

Каждый раз будем получать столбцы матрицы A -1. Опустив промежуточные вычисления, приведем окончательный вид матрицы A -1:

 

 

 
 


–0.21121 –0.46003 0.16248 0.26956

–0.03533 0.16873 0.01573 –0.08920

0.23030 0.04607 –0.00944 –0.19885.

–0.29316 –0.38837 0.06128 0.18513




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 653; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.017 сек.