Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Правило Рунге практической оценки погрешности




 

Оценки погрешности по формулам (5.4), (5.8) и (5.12) являются априорными. Они зависят от длины элементарного отрезка h, и при достаточно малом h справедливо приближенное равенство:

 

IIh» Chk, (5.15)

 

где Ih приближенное значение интеграла, вычисленное по одной из формул (5.3), (5.5), (5.9), C ¹ 0 и k > 0 – величины, не зависящие от h.

Если уменьшить шаг h в два раза, то, в соответствии с (5.15) получим:

 

IIh/ 2» Chk » (IIh). (5.16)

 

Непосредственное использование оценок погрешности (5.4), (5.8) и (5.12) неудобно, так как при этом требуется вычисление производных функции f (x). В вычислительной практике используются другие оценки.

Вычтем из равенства (5.15) равенство (5.16):

 

Ih/ 2Ih » Chk (2 k – 1). (5.17)

Учитывая приближенное равенство (5.16), получим следующее приближенное равенство:

 

IIh/ 2 » . (5.18)

 

Приближенное равенство (5.18) дает апостериорную оценку погрешности. Вычисление этой оценки называется правилом Рунге. Правило Рунге – это эмпирический способ оценки погрешности, основанный на сравнении результатов вычислений, проводимых с разными шагами h.

Для формул прямоугольников и трапеций k = 2, а для формулы Симпсона k = 4. Поэтому для этих формул приближенное равенство (5.18) принимает вид:

 

II пр » , (5.19)

II тр » , (5.20)

II С » . (5.21)

 

Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления интеграла с заданной точностью e. Нужно, начав вычисления с некоторого значения шага h, последовательно уменьшать это значения в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение I. Вычисления прекращаются тогда, когда результаты двух последующих вычислений будут различаться меньше, чем на e.


Пример 5.4.

Найдем значение интеграла с точностью e = 10-4, используя формулу трапеций и применяя вышеизложенную процедуру дробления шага. В примере 5.2 было получено значение I при h 1 = 0.1, Ih =0.74621079. Уменьшим шаг вдвое: h 2 = 0.05 и вычислим I = 0.74667084, e 2 = (I- I) = (0.74667084 – 0.74621079)» 1.5×10-4. Так как | e 2| > e, то снова дробим шаг: h 3 = 0.025, вычисляем I = 0.74678581, e 2 = (I- I) = (0.74678581 – 0.74667084)» 4×10-5. Поскольку | e 3| < e, требуемая точность достигнута и I» 0.7468 ± 0.0001.





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 487; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.014 сек.