IV. Диссипативные системы

Кроме консервативных систем, изучаемых в классической механике, нам нужно рассмотреть также системы, приводящие к необратимым процессам. Простейшим примером такого рода могут служить системы с трением.

Важная роль трения, представляющего собой особую форму диссипативного процесса, была осознана задолго до создания классической механики.

Динамические системы с изменяющимся во времени запасом энергии называются неконсервативными. Системы, в которых энергия уменьшается во времени из-за трения или рассеяния, называются диссипативными. В соответствии с этим системы, энергия которых во времени нарастает, называются системами с отрицательным трением или отрицательной диссипацией. Такие системы можно рассматривать как диссипативные при смене направления отсчета времени на противоположное.

Ярче всего различие между консервативными и диссипативными системами проявляется при попытке макроскопического описания последних, когда для определения мгновенного состояния системы используются такие коллективные переменные, как температура, концентрация, давление, конвективная скорость и т. д. При рассмотрении уравнений, управляющих поведением этих переменных, выясняется следующая их важная особенность: они не инвариантны относительно операции обращения времени в отличие от уравнений

и

На этой основе можно ожидать, что чередование соответствующих событий будет необратимым.

Как и в случае консервативных систем, для диссипативных систем также можно ввести удобное фазовое пространство. Оно включает в себя ансамбль имеющихся переменных и поэтому становится бесконечномерным пространством в случае непрерывной среды, где различные характеристики являются пространственно распределенными величинами. Поэтому удобнее всего работать с фазовым пространством, когда оно содержит дискретное число переменных, и в особенности когда это число конечно и, желательно, невелико.

Рис. 2. Представление диссипативной системы в фазовом пространстве,
а — система, описываемая одной переменной,
б—система с двумя переменными.

Например, в случае (а) фазовое пространство сводится к линии, на которой и находится фазовая траектория. Менее тривиальным примером является химическая реакция, описываемая следующей кинетической схемой:

Соответствующие кинетические уравнения имеют вид

Фазовые траектории для такой системы показаны на рис. 2, б. Полезно иметь в виду, что некоторые диссипативные системы можно преобразовать к консервативному виду и привести их к гамильтоновой форме. Примером может служить знаменитый механизм Лотки—Вольтерра

В этой системе имеется некоторый нетривиальный интеграл движения, играющий роль "гамильтониана". И все же, несмотря на свой кажущийся консервативный характер, эта система неинвариантна относительно обращения времени, поскольку обе переменные Х и Y являются положительными. Поэтому нет смысла приписывать им свойства, аналогичные импульсу в классической механике, что необходимо для такой инвариантности.
Пока еще не рассматривался вопрос о связи между диссипативными и консервативными системами, а также вопрос о возможности перехода от одного описания к другому.

Дата добавления: 2014-01-05