Координаты на плоскости

Координаты на прямой

Координаты на прямой и на плоскости

Прямая Ou, на которой указано положительное направление, называется осью (на чертеже положительное направление обычно обозначается стрелкой). Отрезок, ограниченный точками A и B, называется направленным отрезком или вектором, если указано, какая из данных точек является началом, какая - концом. Направлением отрезка считается направление от начала к концу. Направленный отрезок с началом в точке A и концом в точке B обозначается символом. Две точки А и В определяют два направленных отрезка: и. Если точки А и В совпадают, отрезок. называется нулевым, он не имеет определенного направления.

Величиной направленного отрезка. называется его длина, взятая со знаком плюс, когда направление этого отрезка совпадает с положительным направлением оси, и со знаком минус, когда оно совпадает с отрицательным направлением оси. Величину направленного отрезка. будем обозначать символом АВ.

При любом расположении точек А, В, и С на оси величины направленных отрезков связаны соотношением

,

которое называется основным тождеством.

Возьмем на прямой две несовпадающие точки О и Е, точку О назовем началом координат, а точку Е – единичной точкой. Отрезок ОЕ примем за масштабную единицу для измерения длин. Введем на прямой Ou положительное направление, совпадающее с направлением отрезка. Прямая Ou называется координатной осью, полупрямая, идущая от точки О в положительном направлении, - положительной полуосью, а полупрямая, идущая от точки О в отрицательном направлении, - отрицательной полуосью.

Координатой произвольной точки М координатной оси называется величина направленного отрезка. Если обозначить координату точки М через х, то по определению

.

Запись означает, что точка M имеет координату x.

Если даны две точки и, то величина направленного отрезка вычисляется по формуле

а расстояние между ними – по формуле

.

Простым отношением трех точек, лежащих на одной прямой и взятых в указанном порядке, называется число

,

где и – величины направленных отрезков и.

Если точка М лежит внутри отрезка, простое отношение положительно так как числитель и знаменатель в формуле (1.5) одного знака. В этом случае говорят, что точка М делит отрезок внутренним образом. Если точка М лежит вне отрезка, то; точка М делит отрезок внешним образом. Если точки и совпадают, то.

Пусть – точки координатной оси Ox, тогда

откуда

Положение точки на плоскости относительно системы координат определяется упорядоченной парой чисел, называемых координатами. Существуют различные способы определения положения точки на плоскости, в зависимости от которых рассматривают разные системы координат: прямоугольные декартовы координаты, полярные и др.

Прямоугольными декартовыми координатами точки М называются числа, определяемые формулами

где – величина направленного отрезка оси – величина направленного отрезка оси

(Прямоугольные декартовы координаты x и y точки М равны соответственно расстояниям этой точки до осей Oy и Ox, взятым с надлежащими знаками.)

Пусть – две точки в прямоугольной декартовой системе координат.

Если точка является серединой отрезка то ее координаты вычисляются по формулам:

Полярным углом отрезка называется угол φ, образованный этим отрезком с положительным направлением оси.

Тангенс полярного угла отрезка определяется формулой

Полярная система координат на плоскости определяется точкой О (полюс), исходящим из нее лучом ОР (полярная ось), масштабным отрезком е и направлением отсчета углов.

Полярными координатами точки М, не совпадающий с полюсом, называются расстояние (полярный радиус) от точки М до полюса О и угол φ (полярный угол) между полярной осью OP и лучом OM. Для полюса считают (не определено). Полярный угол имеет бесконечное множество значений; главным значением его называется значение, удовлетворяющее условию.

При соответствующем выборе прямоугольной декартовой и полярной систем координат связь между декартовыми координатами x и y точки М и ее полярными координатами и выражается формулами:

Дата добавления: 2014-01-05