Середні за Колмогоровим

Природна система аксіом (вимог до середніх величин) приводить до асоціативних середніх. їхній загальний вид отримав в 1930 p. А.М.Колмогоров. Тепер їх називають «середніми за Колмогоровим». Вони є узагальненням декількох з перерахованих вище середніх. Середнє за Колмогоровим G (X) для чисел Х ₁, Х ₂, …, Х_n обчислюється за формулою

де F – строго монотонна функція (тобто строго зростаюча чи строго спадна), G = F ^–1 – функція, обернена до F. Середнє за Колмогоровим – це окремий випадок середнього, що узагальнює декілька видів середнього. Якщо F (x) = х, то це середнє арифметичне, у разі F (x) = ln(х) – середнє геометричне, F (x) = 1/ х – середнє гармонічне, F (x) = х ² – середнє квадратичне тощо (в останніх трьох випадках порівнюються позитивні величини). Такі ж популярні середні, як медіана й мода, не можна подати як середні за Колмогоровим.

Доведено, що в шкалі інтервалів із всіх середніх за Колмогоровим допустиме лише середнє арифметичне. Отже, середнє геометричне чи середнє квадратичне температур (у шкалі Цельсія) чи відстаней не мають змісту. У цьому разі як середнє потрібно використовувати середнє арифметичне, а також медіану чи моду. Якщо виконано деякі середньоматематичні умови регулярності в шкалі відношень, із всіх середніх за Колмогоровим допустимі лише представницькі середні з F (x) = x^c, с ¹ 0, і середнє геометричне, що є межею представницьких середніх для с ® 0. Постає питання: чи існують середні за Колмогоровим, якими не можна користуватися для шкали відношень? Так, наприклад з F (x) = е ^x.

Окрім середніх величин, вивчено й інші статистичні характеристики: показники розкиду, зв’язку, відстані й ін. Так, коефіцієнт кореляції не змінюється за будь–якого допустимого перетворення в шкалі інтервалів, як відношення дисперсії – у шкалі різниць, коефіцієнт варіації – у шкалі відношень тощо. У теорії прийняття рішень необхідно застосовувати лише інваріантні алгоритми опрацювання даних. Вимога інваріантості виділяє з багатьох алгоритмів усереднення лише деякі, що відповідають шкалам вимірювань, які використовуються.

Дата добавления: 2014-01-05