Міри близькості Евкліда

Усі розглянуті раніше міри близькості мали спільну рису: на множинах відношень різних типів було введено поняття аналогу прямої. При цьому віддалі між відношеннями одного типу Р ₁, Р ₂,..., Р_m, що розміщені на прямій, задовольняли умову

Використавши замість аналогу прямої аналог ортогональних лінійних сегментів, отримаємо важливий клас мір близькості – евклідові міри. Уперше їх запровадив Боґарт для відношень часткового порядку, які не мали рівноцінних альтернатив.

ОЗНАЧЕННЯ 3.5. Лінійним сегментом L називається така послідовність розміщених на одній прямій відношень Р ₁, Р ₂,..., Р_m, для якої використано таку умову: якщо відношення R знаходиться між Р_i та Р_{і +1} – [ Р_i, R, Р_{і +1}], то R = Р_i або R = Р_{і +1}.

Кожне з відношень лінійного сегмента L отримується долученням або відкиданням однієї пари альтернатив (x_i, х_j). Лінійні сегменти L ₁ та L ₂ ортогональні, якщо в разі долучення чи відкидання пари альтернатив (x_i, х_j) в одному з них її не можна відповідно долучити чи відкинути в іншому. Позначимо як p ізометричну перестановку відношень, тобто таку, що

.

Для введення міри на відношеннях порядку (без рівноцінних альтернатив) використовують аксіоми 1 – 4 та наступні три додаткові аксіоми.

АКСІОМА 5g (симетричність віддалі відносно порожнього відношення). , де Æ – порожнє відношення (усі елементи матриці якого дорівнюють нулю), де Р – відношення часткового порядку, до складу якого входить пара (х_i, x_j) лише тоді, коли (х_i, x_j) Î Р.

АКСІОМА 6g (незалежність віддалі від ізометричної перестановки). Якщо – ізометрична перестановка лінійного сегмента Р ₁, Р ₂,..., Р_m, то

.

АКСІОМА 7g. Якщо лінійні сегменти Р ₁, Р ₂,..., Р_m і Р_m, Р_{m +1},..., Р_{m + s} ортогональні, то

.

Якщо діють ці сім аксіом, то віддаль між частковими порядками Р та R однозначно обчисюється за формулою

Аналогічно визначається міра близькості на метризованих ранжуваннях.

АКСІОМА 8g. Якщо метризовані ранжування Р, Q, R такі, що сегменти [ Р, R ] і [ R, Q ] ортогональні, то

АКСІОМА 9g. Якщо матриці метризованих ранжувань Р та Q різняться лише однією парою елементів р_іj (Р), р_іj (Q), то

На метризованих ранжуваннях поняття ортогональності сегментів визначається наступним чином. Сегменти [ Р, R ] та [ R, Q ] будуть ортогональними, якщо для кожної пари i, j або р_іj (Р) – р_іj (R) = 0, або або р_іj (R) – р_іj (Q) = 0 (Р, Q та R – метризовані ранжування).

Якщо діють аксіоми 1–3, 8g, 9g, то міра близькості між метризованими ранжуваннями однозначно обчислюється за формулою

Отже, отримані формули для обчислення відстаней між бінарними відношеннями різних типів, висуваючи різноманітні припущення та формулюючи їх у вигляді аксіом. Для того, щоб одержані результати були застосовані на практиці, аксіоми, на яких ґрунтується спосіб обчислення відстані, слід перевіряти в конкретних умовах експертного опитування.

Дата добавления: 2014-01-05