Оцінки параметрів нормального розподілу

У цього розподілу два параметри: математичне сподівання і дисперсія. Оцінками і параметрів і є

,.

Величина є незміщеною, спроможною і ефективною оцінкою математичного сподівання, тому її значення приймаємо за точкову оцінку значення математичного сподівання.

8.1 Довірчий інтервал для математичного сподівання

при відомій дисперсії

Будемо вважати, що дисперсія відома, тоді вибіркове середнє – нормально розподілена випадкова величина з параметрами. Для такої випадкової величини ймовірність попадання на симетричний відносно математичного сподівання інтервал виражається через функцію Лапласа

,

де. При заданій надійності рівняння можна розв’язати наближено за допомогою таблиці значень функції Лапласа.

Якщо точного значення в таблиці значень немає, то потрібно знайти два найближчих до нього значення, одне більше, а інше менше, ніж, і знайти їх середнє арифметичне. Відоме значення параметра дозволяє записати абсолютну похибку. Тепер можна вказати симетричний інтервал. Отримане співвідношення означає, що довірчий інтервал покриває невідомий параметр (математичне сподівання) з ймовірністю (надійністю), а точність оцінки.

При фіксованому об'ємі вибірки з оцінки виходить, що чим більше довірча ймовірність, тим ширше межі довірчого інтервалу (тим більше помилка в оцінці математичного сподівання). Щоб знизити помилку в оцінці значення, можна збільшити об'єм вибірки. При цьому, щоб знизити відносну похибку на порядок, необхідно збільшити об'єм вибірки на два порядки.

Приклад 1. За даними спостережень випадкової величини знайти довірчий інтервал для математичного сподівання з надійністю, якщо відома дисперсія. Вибірка представлена таблицею.

Інтервали	(10;20)	(20;30)	(30;40)	(40;50)
Середини інтервалів
частоти

Розв’язання. Знайдемо об'єм вибірки, для чого підсумуємо вказані в таблиці частоти:. Середнє вибіркове значення обчислимо за формулою

.

За заданою надійністю знайдемо, за допомогою таблиці, параметр:, звідки,. Отримаємо довірчий інтервал для математичного сподівання

.

Проведемо обчислення і остаточно запишемо

.

Таким чином, інтервал покриває параметр з надійністю при відомій дисперсії.

8.2 Довірчий інтервал для математичного сподівання

при невідомій дисперсії

У багатьох випадках припущення про нормальний розподіл випадкової величини стає прийнятним при в цілому добре виправдовується при. Оцінка цілком придатна для застосування замість. Але все не так з дисперсією. Правомочність заміни на вибіркову дисперсію

не обґрунтована навіть у вказаних випадках. При невеликому об'ємі вибірки,, закон розподілу оцінки дисперсії брати за нормальний невиправдано. Її розподіл слід апроксимувати розподілом хі-квадрат як суми квадратів центрованих величин (хі-квадрат розподіл збігається до нормального при числі доданків, що перевищує 30). Але це твердження обґрунтоване тільки тоді, коли випадкова величина Х розподілена нормально.

Розглянемо випадкові величини

(виправлену вибіркову дисперсію – незміщену оцінку дисперсії) і

.

Тоді випадкова величина має розподіл Стьюдента з степенями вільності. Функція щільності розподілу цієї випадкової величини має вигляд

.

Розподіл Сьюдента симетричний, тому отримане співвідношення між точністю, надійністю оцінки і об’ємом вибірки зберігається. Виберемо число так, щоб виконувалась нерівність

.

З означення функції щільності розподілу Стьюдента, значення меж інтервалу для параметра можна записати як розв’язок інтегрального рівняння

.

Розв’язок цього інтегрального рівняння позначається і наводиться в статистичних таблицях.

Зауваження. Критичні точки розподілу Стьюдента можна обчислити

а) в Excel за формулою =СТЬЮДРАСПОБР(1-α; k), де α – рівень значущості (), k – число ступенів свободи.

а) в Mathcad за формулою qt(1–α/2; k), де α – рівень значущості, k – число ступенів свободи.

Приведемо нерівність до еквівалентного вигляду

або

.

Ця нерівність задає довірчий інтервал для математичного сподівання з надійністю:

.

Приклад 2. В умовах прикладу 1 знайти довірчий інтервал для математичного сподівання з надійністю, якщо дисперсія невідома.

Розв’язання. Об'єм вибірки. Середнє вибіркове значення. Обчислимо вибіркову дисперсію:

,

,

і виправлену вибіркову дисперсію:

.

Об'єм заданої вибірки достатньо великий,. Тому можна використовувати як розподіл Стьюдента, так і нормальний розподіл. Розглянемо обидва варіанти.

Варіант 1 (нормальний закон розподілу). Будемо припускати, що, а. За заданою надійністю знайдемо за допомогою таблиці значень функції Лапласа, параметр:, звідки,. Отримаємо довірчий інтервал для математичного сподівання

.

Проведемо обчислення і остаточно запишемо

.

Таким чином, інтервал покриває параметр з надійністю при невідомій дисперсії.

Варіант 2 (закон розподілу Стьюдента). За заданою надійністю знайдемо за допомогою таблиці значень розподілу Стьюдента, параметр:. Отримаємо довірчий інтервал для математичного сподівання

.

Проведемо обчислення і остаточно запишемо

.

Таким чином, інтервал покриває параметр з надійністю при невідомій дисперсії.

Можна помітити, що якщо значення близьке до, то довірчий інтервал, отриманий із застосуванням закону розподілу Стьюдента, буде ширшим, ніж довірчий інтервал, отриманий із застосуванням формул нормального розподілу, оскільки. Це пояснюється тим, що розподіл Стьюдента застосовується при вибірках малих об'ємів, що містять недостатній об'єм інформації.

Приклад 3. За даними спостережень випадкової величини, розподіленої нормально, знайти довірчий інтервал для математичного сподівання з надійністю. Вибірка представлена таблицею.

Інтервали	(5;10)	(10;15)	(15;20)	(20;25)	(25;30)
Середини інтервалів 15	7,5	12,5	17,5	22,5	27,5
частоти

Розв’язання. Знайдемо об'єм вибірки, для чого підсумуємо вказані в таблиці частоти:. Оскільки об'єм вибірки невеликий, то застосування нормального закону розподілу приведе до невиправданого звуження довірчого інтервалу, тому використовуємо формули, отримані для розподілу Стьюдента. Обчислимо необхідні параметри:

.

.

,

.

.

За заданою надійністю знайдемо за допомогою таблиці значень розподілу Стьюдента, параметр:. Отримаємо довірчий інтервал для математичного сподівання

.

Проведемо обчислення і остаточно запишемо

.

Таким чином, інтервал покриває параметр з надійністю при невідомій дисперсії.

8.3. Довірчий інтервал для дисперсії при відомому

математичному сподіванні

Нехай – вибірка спостережень з нормальної генеральної сукупності. Знайдемо довірчий інтервал для дисперсії нормально розподіленої величини з відомими математичним сподіванням.

Оскільки значення математичного сподівання відоме, то як оцінку величини візьмемо точкову оцінку дисперсії, яку будемо розглядати як випадкову величину, залежну від випадкової вибірки. Тоді величина є сумою квадратів значень. Ці величини мають стандартний нормальний розподіл з параметрами 0 і 1, а сума має розподіл Пірсона з степенями вільності. Користуючись щільністю -розподілу, знайдемо інтервал, в який значення потрапляють з надійністю. Позначимо цей інтервал. Оскільки розподіл не є симетричним, то щоб отримати симетричний відносно параметра інтервал, значення і виберемо так, щоб ймовірність попадання значень лівіше і правіше була однаково рівною. Тоді

.

Числа і можна відшукати за спеціальною таблицею критичних точок розподілу, виходячи з того, що,. Після того, як числа і вибрані, можливо визначити довірчий інтервал для дисперсії. Оскільки, то нерівність перетвориться на нерівність або, в еквівалентному вигляді. Ця подвійна нерівність означає, що довірчим інтервалом для дисперсії з надійністю є проміжок.

Зауваження. Таблиці критичних точок і розподілу містять два параметри: рівень значущості, визначуваний значеннями і, а також число степенів свободи, рівне об'єму вибірки. Критичні значення в таблицях найчастіше позначаються.

Зауваження. Критичні точки розподілу можна обчислити

а) в Excel за формулою =ХИ2ОБР(α; k), де α – рівень значущості, k – число ступенів свободи.

а) в Mathcad за формулою qchisq(1–α; k), де α – рівень значущості, k – число ступенів свободи.

Приклад 4. В умовах прикладу 3 знайти довірчий інтервал для дисперсії з надійністю.

Розв’язання. Об'єм вибірки, вибіркове середнє, вибіркова дисперсія. За заданою надійністю обчислимо

,.

Відшукаємо числа і за таблицею критичних точок розподілу:

,.

Отримаємо довірчий інтервал для дисперсії:

,

.

Таким чином, інтервал покриває параметр з надійністю при відомому математичному сподіванні.

8.4. Довірчий інтервал для дисперсії при невідомому

математичному сподіванні

Знайдемо довірчий інтервал для дисперсії нормально розподіленої величини з невідомими математичним сподіванням. При виведенні інтервальної оцінки у разі відомого математичного сподівання, ми користувалися величиною. Тепер це значення використовувати неможна, тому за незміщену оцінку дисперсії будемо використовувати виправлену вибіркову дисперсію.. Випадкова величина має розподіл Пірсона із ступенями свободи. Виберемо близьку до одиниці ймовірність і знайдемо інтервал, в який потрапляє невідомий параметр з надійністю. Для цього повторимо міркування пункту 8.3 і отримаємо, що оцінюване значення дисперсії з надійністю покривається довірчим інтервалом

.

Приклад 5. В умовах прикладу 3 знайти довірчий інтервал для дисперсії при невідомому математичному сподіванні з надійністю.

Розв’язання. Об'єм вибірки, вибіркове середнє, вибіркова дисперсія, виправлена вибіркова дисперсія.

Отримаємо довірчий інтервал для дисперсії:

,

.

Таким чином, інтервал покриває параметр з надійністю при невідомому математичному сподіванні.

8.5. Довірчий інтервал для середнього квадратичного відхилення

Нехай генеральна сукупність випадкової величини розподілена нормально. Треба оцінити невідоме генеральне середнє квадратичне відхилення за виправленим середнім квадратичним відхиленням. Для цього знайдемо довірчий інтервал, що покриває невідомий параметр з надійністю. По суті, ця задача повторює попередній пункт, але зараз ми трохи змінимо позначення для спрощення запису результату.

Вираз для довірчої ймовірності має вигляд, де – абсолютна похибка оцінювання. Нерівність або рівносильну йому нерівність перетворимо до виду. Позначимо і, оскільки абсолютну похибку оцінювання ми вибираємо достатньо малою, можна вважати, що. Перепишемо нерівність у вигляді, домножимо на, отримаємо. З попереднього пункту відомо, що випадкова величина має розподіл Пірсона із ступенями свободи. Тому змінну можна виразити через значення критичних точок і розподілу і записати ці значення в таблицю (у застосуваннях значення параметра приведені в спеціальних статистичних таблицях). Вичисливши по вибірці значення і знайшовши за таблицею, отримаємо шуканий довірчий інтервал для середнього квадратичного відхилення, покриваючий параметр із заданою надійністю:

.

Зауваження. У випадках, коли оцінюється математичне сподівання при невідомій дисперсії або дисперсія при невідомому математичному сподіванні, довірчі інтервали, що виходять при цьому, виявляються довше за тих, що отримані, коли, відповідно, дисперсія або математичне сподівання були відомі. Ця обставина пояснюється тим, що наявність додаткової інформації дозволяє звузити межі, в які можна укласти оцінюваний параметр при заданій надійності.

Приклад 6. В умовах прикладу 3 знайти довірчий інтервал для середнього квадратичного відхилення з надійністю.

Розв’язання. Об'єм вибірки, вибіркове середнє, вибіркова дисперсія, виправлена вибіркова дисперсія, виправлене вибіркове середнє квадратичне відхилення.

Довірчий інтервал для середнього квадратичного відхилення визначається нерівністю.

За заданою надійністю і об'ємом вибірки знайдемо за таблицями параметр:. Отримаємо довірчий інтервал для середнього квадратичного відхилення

.

Проведемо обчислення і остаточно запишемо

.

Таким чином, інтервал покриває параметр з надійністю.

Дата добавления: 2014-01-05