Предел вектор функции

Определение векторной функции. Операции над векторными функциями

Общая схема построения графиков

Можно рекомендовать следующую последовательность исследования поведения функции.

1° Область определения. Симметрия (четность, нечетность). Периодичность.

2° Асимптоты

3° Интервалы монотонности, экстремумы (заполняется таблица, как показано ниже)

4° Дополнительные исследования (если необходимо, выпуклость, точки перегиба, пересечение с осями и т. п.)

Замечание. Отыскание глобальных максимумов и минимумов на отрезке производится среди точек трех типов:

1) стационарные точки

2) особые точки (где не существует производная)

3) граничные точки.

Пример.

Асимптоты y/x® 1, x® ±¥

при x® ±¥.

Асимптота y=x -1

Особые точки (в первом приближении только для первой производной) 0,2,3

t	(-¥,-1)	-1	(-1,1)		(1,¥)
	+		+		-
x	-¥ ­ -3	-3	-3 ­ 1		1 ¯ -¥
Диапазон x	(-¥,-3)		(-3,1)		(-¥,1)
dy/dx	-		+		+
y(x)	¥¯-2	-2	-2­2		-¥­2
d^2y/dx^2	+È		+È		-Ç

Рис. 4.23

Пример. Исследовать поведение кардиоиды r = 2(1 + cos t) в окрестности точек t = 0, t = p.

=.

=

Для нахождения точек перегиба полезно методом сложения графиков построить приблизительно график функции. Из этого графика видно, что направление выпуклости меняется в районе точек и точки (из за знаменателя). Около точки числитель не меняет знак, а знаменатель меняет, так образом, это тоже точка перегиба.

Рис. 4.24

Рис. 4.25

Глава 5. Элементы теории кривых

5.1 Векторная функция скалярного аргумента

Кривые на поскости и в пространстве. Векторная функция.

На плоскости

, r (t)=x(t) i +y(t) j.

В пространстве

, r (t)=x(t) i +y(t) j +y(t) k.

Операции над вектор функциями

1) p (t), q (t) p (t) + q (t).

2) l(t) r (t).

3) Скалярное произведение (p (t), q (t)).

4) В трехмерном пространстве определено векторное произведение [ p (t), q (t) ].

Определение

r (t)= a

Или, что тоже, | r (t) – a | =0.

Замечание 1. Это определение не зависит от выбора базиса i, j, k.

Геометрическая интерпретация.

Рис. 4.26

Теорема. (Критерий существования предела вектор функции) Для существования предела

r (t) = a необходимо и достаточно существования пределов координат вектор функции

r (t) = a

Доказательство. Для заданного значения параметра t обозначим

r(t) = max { |x (t) -a_x|,| y (t) -a_y |,| z (t) -a_z | }. Для любого t справедливо неравенство

r(t) £ = | r (t) – a |.

С другой стороны | r (t) – a | =

£ r(t).

Из этих неравенств и следует требуемое утверждение.

Замечание 2. Для существования предела необходимо требовать, чтобы r (t) была определена в некоторой проколотой окрестности точки t ₀. Можно рассматривать односторонние производные.

Из теорем о пределах функций, с помощью доказанного критерия, получаются соответствующие теоремы для пределов вектор функций. Перечислим некоторые из них.

1) Предел, если он существует, единственен.

2) Предел суммы и произведения на обычную функцию

(p (t) + q (t)) = p (t) + q (t).

(l(t) p (t)) = l(t) p (t).

3) (p (t), q (t))=(a, b).

a = p (t), b = q (t).

Доказательство. Пусть p (t)=, q (t)=, a =, b =. Тогда (p (t), q (t))= = (a, b).

4) [ p (t), q (t)]=[ a, b ], если a = p (t), b = q (t).

Для краткости введем обозначения:

.

[ p (t), q (t)]= [ a, b ].

Дата добавления: 2014-01-05