КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. М.-Л., 1933
Порядок соприкосновения кривых Выражение центра и радиуса кривизны для явно заданной кривой Понятие кривизны и ее вычисление Рассмотрим концентрические окружности. Будем определять кривизну окружности радиуса R как величину k= 1/ R. Центром кривизны назовем центр окружности, а ее радиус – радиусом кривизны. Обобщим эти понятия на произвольную гладкую кривую. Рассмотрим гладкую кривую с параметризацией x (t), y (t), для краткости будем использовать обозначения: x 0= x (t 0), x = x (t), y 0= y (t 0), y = y (t), u 0= x ¢(t 0), u = x ¢(t), v 0= y ¢(t 0), v = y ¢(t). В процессе рассмотрения t 0 будет фиксирована, а t будет рассматриваться, как текущая точка. Составим уравнения нормалей в точках (x 0, y 0), (x, y). .. Найдем точку пересечения этих прямых. или Умножим первое уравнение на u, а второе на – v и сложим. (uv 0 - vu 0) p = u (x 0- x) + v (y 0 – y) откуда . Далее перейдем к пределу при t ® t 0 (u ® u 0, v ® v 0). Получим . Подставляя найденной значение параметра для предельной точки пересечения нормалей, получим координаты предельной точки Полученная таким образом точка называется центром кривизны кривой в заданной точке, а расстояние от этой точки до центра кривизны называется радиусом кривизны. Величина обратная радиусу кривизны называется кривизной . Рис. 5.6 Окружность с центром в (X 0, Y 0) и радиуса R 0 называется соприкасающейся окружностью. Рассмотрим кривую g, заданную в виде y = f (x), x Î[ a,b ]. В качестве параметризации выберем x = t, y = f(t), t Î[ a,b ]. Тогда Пусть g1, g2 представлены функциями y=f 1(x), y=f 2(x) и пересекаются в точке (x 0, y 0). Кривые g1, g2 имеют порядок соприкосновения n в точке (x 0, y 0), если , для всех k=0,1,…,n, и. Достаточными условиями для того, чтобы кривые имели порядок касания n являются следующие условия:
Функции n +1 непрерывно дифференцируемы в окрестности точки x 0 и Для доказательства обозначим f (x)= f 2(x) - f 1(x). Тогда в окрестности точки x 0 имеет место разложение по формуле Тейлора с остатком в форме Лагранжа тогда k =0,1,…, n +1. Таким образом, будут выполнены условия из определения порядка касания. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Часть 1. – М.: Наука, 1971. 2. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа.Т.1.– М.: Наука, 1968. 3. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. – М.: Наука, 1966. 4. Никольский С. М. Курс математического анализа. Т.1. – М.: Наука, 1973. 5. Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. Т.1. – М.: Высшая школа, 1973. 6. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука, 1972. 7. Бугров Я. С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1988. 9. Колмогоров А.Н., Фомин С.В., Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1972. 10. Брудно А.Л., Теория функций действительного переменного. – М.: Наука, 1971. 11. Хавин В. П. Основы математического анализа. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной вещественной переменной. Издательство «Лань», 1998. 12. Маллас Дж. Реляционный язык пролог и его применение. – М.: Наука, 1990.
Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 518; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |