Условие параллельности двух прямых

Угол между двумя прямыми.

Уравнение прямой в отрезках по осям.

Уравнение прямой, проходящей через 2 точки.

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку и в данном направлении.

Пусть дана точка с координатами. Требуется написать уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент. Уравнение прямой через угловой коэффициент имеет вид

Так как прямая проходит через точку то её координаты удовлетворяют этому уравнению, т. е.. Отсюда

Подставив значение в уравнение прямой через угловой коэффициент, получим или

Это и есть уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент (рис. 11).

Пример 5. Написать уравнение прямой, проходящей через точку под углом 45 с положительным направлением оси.

Решение. В нашем случае,,, поэтому уравнение прямой имеет вид или.

Пусть даны точки и. Тогда существует единственная прямая, которая проходит через эти точки (рис. 12). Установим уравнение этой прямой. Так как уравнение прямой, проходящей через точку имеет вид и прямая проходит через точку, то справедливо равенство. Отсюда
Подставим значение в уравнение, получим

После преобразования окончательно уравнение прямой, проходящей через точки и имеет вид
Предполагается, что в этом уравнении

Если, то прямая, проходящая через точки и и параллельна оси ординат. Ее уравнение имеет вид (рис. 13 а)).

Если, то уравнение прямой может быть записано в виде и она параллельна оси абсцисс (рис. 13 б)).

Пример 6. Написать уравнение прямой, проходящей через точки и (рис. 14).

Решение. По формуле уравнения прямой, проходящей через две точки, имеем

В нашем случае значения координат равны, поэтому уравнение прямой, имеет вид

После преобразований окончательно уравнение будет иметь вид.

Пусть график некоторой прямой отсекает на осях и отрезки и соответственно (рис. 15). Возникает вопрос: каким образом эти параметры могут быть отражены в уравнении прямой?

Так как в этом случае прямая проходит через точки и, то по формуле уравнения прямой, проходящей через 2 точки, имеем

Или

Окончательно, получим уравнение

Пример 7. Написать уравнение прямой в виде уравнения в отрезках по осям и построить график этой прямой.

Решение. Перенесем переменные уравнения в одну сторону, затем разделим на правую часть, равную 2, получим

Таким образом, имеем. Откладываем эти значения соответственно по осям и, получим точки и (рис. 16), через которые и проводим искомую прямую.

Пусть заданы две прямые и (рис. 17). Тогда

,, и угол между этими прямыми равен

Тогда = и формула угла между прямыми имеет вид

Если две прямые и параллельны, то угол между ними равен нулю и тогда
Следовательно,, или.

Таким образом, необходимым и достаточным условием параллельности прямых является равенство их угловых коэффициентов (рис. 18).

Пример 8. Прямые и являются параллельными т.к.

Дата добавления: 2014-01-05