Теорема Гаусса для электростатического поля в

Полей

Электростатического поля. Принцип суперпозиции полей

Электростатическое поле. Напряженность

Взаимодействие зарядов осуществляется посредством

электрического поля – одного из видов материи. Оно сущест-

вует вокруг заряженных тел и действует на заряды, помещен-

ные в поле, с некоторой силой. Поле, создаваемое неподвиж-

ными зарядами и не изменяющееся со временем, называется

электростатическим.

Силовой характеристикой электрического поля

является напряженность E



– это векторная физическая

величина, численно равная силе, с которой поле действует на

единичный положительный пробный заряд 0 q, помещенный в

данную точку поля, и направленная в сторону действия силы

([ E ]  В м  Н Кл):

0 q

E F





. (1.6)

Словами “ пробный заряд ” подчеркивается то обстояте-

льство, что он не участвует в создании исследуемого поля и не

искажает его, т.е. что он достаточно мал и не вызывает пере-

распределения зарядов, создающих поле. Если поле создано

положительным зарядом, то вектор E



направлен вдоль

радиуса - вектора от заряда; если поле создано отрицательным

зарядом, то вектор E



направлен к заряду (рис. 1.2).

Для поля точечного заряда q сила F



, действующая на

пробный заряд 0 q со стороны поля, будет равна

F q q r

 r



  

 .

Тогда в соответствии с формулой (1.6) напряженность

______________поля точечного заряда

r

r

E q  

   3

0 4



, (1.7)

а модуль этого вектора будет равен

0 4

r

E   q



, (1.8)

где r – расстояние до заряда, создающего поле.

.

Рис. 1.1 Рис. 1.2

Из определения напряженности (1.6) следует, что сила,

действующая на всякий точечный заряд q, в точке поля с

напряженностью E



будет равна

F qE

 

. (1.9)

Если q > 0, то F



и E



сонаправлены, если q < 0, то

направление векторов F



и E



противоположны.

Если поле создано системой точечных зарядов 1 q, 2 q,

…, n q, то из принципа независимости действия сил следует,

что результирующая сила F



, действующая со стороны

исследуемого поля на пробный заряд 0 q, равна векторной

сумме сил i F



, приложенных к нему со стороны каждого из

зарядов i q:





n

i

i F F

 . (1.10)

+ q 1 12 r  + q 2 F



q A E



q E



A

Учитывая, что F q E

 

0 , Fi q Ei

 

0 , где E



– напряжен-

ность результирующего поля, i E



– напряженность поля,

создаваемого одним зарядом i q, и подставляя эти выражения в

(1.10), получим принцип суперпозиции электростатических

n

i

i

E E



   

, (1.11)

напряжённость E результирующего электрического поля,

создаваемого системой зарядов, равна векторной сумме

напряжённостей полей, создаваемых в данной точке каждым

из этих зарядов в отдельности.

Принцип суперпозиции (1.11) можно использовать для

расчета любых электрических полей.

1.3. Линии напряжённости. Поток вектора

напряжённости. Теорема Гаусса

Для графического изображения электрических полей

применяют силовые линии (линии напряжённости).

Линии напряжённости – это линии, касательные к

которым в каждой точке совпадают с направлением вектора E



(рис. 1.3).

Рис.1.3

Силовые линии электрического поля не замкнуты, они

начинаются на положительных зарядах и оканчиваются на

отрицательных, они непрерывны и не пересекаются.

Густота линий напряжённости выбирается так, чтобы

количество линий, пронизывающих единичную площадку,

1 E



2 E



перпендикулярную силовым линиям, было равно числовому

значению вектора E



.

Рассмотрим некоторую поверхность S, пронизываемую

силовыми линиями электрического поля. На этой поверхности

выделим элементарную площадку dS, нормаль n 

к которой

образует угол  с вектором E



в окрестности этой площадки

(рис.1.4).

Число линий E



, пересекаю-

щих данную площадку, равно

dФ EdS E dS n   cos  ,

где E E cos  n  - проекция

вектора E



на нормаль к

площадке.

Величина dФ называется

потоком вектора E



сквозь

элементарную площадку dS. Полный поток через поверх-

ность S определяется путём интегрирования по заданной

поверхности

Ф E dS

S

  n. (1.12)

Физический смысл потока: Ф - число пересечений

силовых линий с данной поверхностью.

Поток вектора E



есть величина алгебраическая,

знак его зависит от выбора направления нормали к

элементарным площадкам, на которые разбивается поверх-

ность S. В случае замкнутых поверхностей под нормалью к dS

понимается обращенная наружу, т.е. внешняя нормаль.

Поэтому в тех местах, где вектор E



направлен наружу (т.е.

силовые линии выходят из объема, охватываемого поверхно-

стью) n E и соответственно dФ положительны, где вектор E



E 

n E



n 

dS



Рис. 1.4

направлен внутрь - поток dФ будет отрицателен (рис.1.5).

Поток вектора E



сквозь произвольную

замкнутую поверхность

зависит только от

алгебраической суммы

зарядов, охватываемых

этой поверхностью.

вакууме: поток вектора напряженности электростати-

ческого поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую

поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри

этой поверхности зарядов, деленной на 0 .

 



 

n

i

n i Ф E dS q

0 1

1



. (1.13)

Теорему Гаусса используют для расчета симметричных

электрических полей.

В таблице приведены формулы расчета напряжённостей

некоторых симметричных полей, полученные с помощью

теоремы Гаусса.

Рис.1.5

dФ < 0

dФ > 0

n

E 

E



n



11

№

п/п

Электрическое

поле

Формулы

напряженности Графики

1 2 3 4

1

Поле

равномерно

заряженной

бесконечной

плоскости

где  - поверхностная

плотность заряда

E

2

Поле

бесконечно

длинной

равномерно

заряженной

нити

r - расстояние от

нити,  - линейная

плотность заряда

E

r

3

Равномерно

заряженная

сферическая

поверхность

где R - радиус сферы,

r - расстояние от

центра сферы.

,

2 0 



E 

,

2 0r

E







2

0

2)

1

4

r R

E q

 r





1) rR, E=0;

x

 













0

R r

E

1/r2

1/r

12

Продолжение таблицы

1 2 3 4

4

Поле объемно

заряженного

шара

где R - радиус шара,

r - расстояние от

центра шара,

 - объёмная

плотность заряда

Е

Дата добавления: 2014-01-05