Вынужденные колебания. Уравнение вынужденных колебаний

Периодическая сила, под действием которой установились

Равным 1,6 с-1. На это тело начала действовать внешняя

Начальной фазой, равной нулю, коэффициентом затухания,

Колебания с максимальным значением амплитуды 7 см,

После подстановки числовых значений найдем

Приравнивая (1) и (2), сокращая на E0 и, логарифмируя обе

Начальной энергии, следовательно,

Где 2 2

Получим 2 2

Учитывая зависимость амплитуды затухающих колебаний

По формуле

Энергия тела, совершающего колебания, определяется

Решение

Своей энергии. Определить коэффициент сопротивления r.

M m m m m

M x m m l m l m m l l

I i

0 (2) (2) ()

1 2 3

1 2 3 3 2

Расстояние lc от оси маятника до его центра масс равно

Момент инерции маятника определяем выражением

Принимая шарики за материальные точки, общий

Маятника до оси.

Mgl

T I

Формулой

Физический маятник, период колебаний которого определяется

Решение

M2

M3

L lc c

X

А1

Стержнем.

Лить период колебаний, совершаемых

Проходящей через его середину. Опреде-

Ной оси, перпендикулярной стержню и

Стержень колеблется около горизонталь-

Кг укреплены шарики малых размеров

Пример 4. На концах тонкого

A A

Tg A A

Cos cos

Sin sin

1 1 2 2

1 1 2 2

Из рисунка

Начальной фазы результирующего колебания определится

2 2

Теореме косинусов получим

Сложения однонаправленных

Векторную диаграмму

Затем построим

Приведем уравнение второго колебания к виду

Вначале, используя тригонометрические формулы,

Решение

Написать уравнение результирующего колебания.

Двух одинаково направленных колебаний, выражаемых

Результирующего колебания, возникающего при сложении

Пример 3. Найти амплитуду и начальную фазу

T t

T dt

Cр

1 ().

2 1 1

Аналогичные результаты могут быть получены при

Cр 2

2 4 1 16

t  T t  T.

С учетом этого:

A

t

 ; ср2 = 50 см/с.

использовании формулы:

t

t

  

 

уравнениями: х1 = 3cos(t + /3) см, х2 = 8sin(t + /3) см.

х2 = 8 cos(t - /6) см.

колебаний (см.рис.). Согласно

A  A1  A2  2A1A2cos􀀀,

где  = 2 - 1.

Произведя вычисления, найдем А = 8,5 см. Тангенс

 



 







, откуда  = - 0.2 рад.

Уравнение результирующего колебания запишется в виде:

х = 8,5cos(t – 0.2) см.

стержня длиной l = 1 м и массой m1 = 0,4

массами m2 = 0,2 кг и m3 = 0,4 кг.

1 φ2

А

l/2

Стержень с шариком (см. рис.) представляет собой

c

 ,

где  - момент инерции маятника относительно оси

колебаний; m – масса; lc – расстояние от центра масс

 = (1/12)m1l2 + m2(l/2)2 + m3(l/2)2 = (1/12) l2(m1 + 3m2 + 3m3),

 = 0,183 кгּ м2.

Масса маятника m = m1 + m2 + m3 = 1 кг.

c

i

    

  

 





Произведя вычисления, найдем lc = 10 см, Т = 2,7 с.

Пример 5. Тело массой m = 5 г совершает затухающие

колебания. В течении времени t =50 с тело потеряло 60 %

E = mA22/2.

от времени A = А0 е-  t,

0 E  mA e  t 2, или

E = E0 е -2 t, (1)

0 0 E  mA  2 – энергия тела в момент времени t = 0.

К моменту времени t =50 с тело потеряло 60% своей перво-

E = 0,4E0. (2)

части равенства, найдем: ln2,5 = 2t.

Отсюда выражаем :

 = (ln2,5)/2t. (3)

С другой стороны,  = r/2m. (4)

Из сравнения (3) и (4) получим r = (m ln2,5)/t

r = 9,1610-5 кг/с.

Пример 6. Тело массой m = 10 г совершает затухающие

имеет вид x =5sin(10t - 0,75) см. Найти: 1) уравнение свобод-

ных колебаний; 2) уравнение внешней периодической силы.

Дата добавления: 2014-01-05