КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Доведення. У задачі мова йде про 49 елементну множину, із якої треба вибрати шестиелементні підмножини, для яких порядок розміщення елементів немає значення
Доведення. Розв’язання. У задачі мова йде про 49 елементну множину, із якої треба вибрати шестиелементні підмножини, для яких порядок розміщення елементів немає значення, а тому нам потрібно обчислити число комбінацій із 49 елементів по 6, тобто С496=(49•(49-1)•(49-2)•(49-3)•(49-4)•(49-5))/(1•2•3•4•5•6)=(49•48•47•46•45•44)/(1•2•3•4•5•6)=13983816. Щоб визначити необхідну кількість грошей, слід 13983816 помножити на ціну однієї карточки. Для того, щоб спростити обчислення числа комбінацій, використовують властивості комбінацій, які спрощують ці обчислення. Властивість 1: якщо 0<k≤n, то Сnk=Сnn-k. Для доведення цієї властивості використаємо формулу Сnk=n!/((n-k)!•k!) i покажемо, що права частина властивості дорівнює лівій. Сnn-k=n!/((n-k)!•(n-(n-k))!)=n!/((n-k)!•(n-n+k)!)=n!/((n-k)!•k!)=Сnk. Властивість доведено. Цією формулою зручно користуватися, коли верхнє число більше половини нижнього, наприклад: С10080=С100100-80=С10020. Покажемо це на наступному прикладі: обчислити С10096=С100100-96=С1004=(100•99•98•97)/(1•2•3•4)=3921225. Властивість 2: якщо 0<k≤n, то для будь-яких k i n Сnk=Сn-1k+Сn-1k-1. Для доведення цієї властивості використаємо формулу для обчислення числа комбінацій i покажемо, що права частина рівності дорівнює лівій. Сn-1k+Сn-1k-1=((n-1))!/(k!•(n-k-1)!)+((n-1)!)/((k-1)!•(n-k)!). Зведемо ці два дроби до спільного знаменника, враховуючи, що (n-k)!=1•2•3•...•(n-k-1)•(n-k) i (n-k-1)!=1•2•3•...•(n-k-1). Верхній i нижній факторіали вiдрiзняються лише тільки одним множником - (n-k), так само k! i (k-1)! вiдрiзняються лише одним множником k, а тому спільним знаменником для двох дробів буде k!•(n-k)!, тоді маємо: Сn-1k+Сn-1k-1=((n-1)!•k+(n-1)!)/((k-1)!•(n-k)!•k)=((n-1)!(k+n-k))/(k!•(n-k)!)=((n-1)!•n)/(k!•(n-k)!)=n!/(k!•(n-k)!=Сnk. Властивість доведено. Остання доведена теорема лежить в основі побудови, так званого, трикутника Паскаля, який дає можливість обчислювати значення Сnk, знаючи Сn-1k і Сn-1k-1. Цей трикутник представлено у наступній таблиці № 1.2.
Таблиця № 1.2. Трикутник Паскаля.
В цій таблиці у крайніх лівих і правих стовпцях стоять одиниці. У першому рядку записано С00=1, у другому - С00=1 і С00=1, у третьому – ліворуч С20=1, а праворуч С21=1, а тоді, щоб обчислити С21, необхідно додати числа, які стоять у попередньому рядку. Отже, С21=1+1=2. Аналогічно можна обчислювати інші значення числа комбінацій, наприклад С53= С42+С43=6+4=10. Напрямок руху можна показати стрілками.
Запитання для самоконтролю та завдання для самостійної роботи студентів за модулем 1. 1. Чому не можна дати означення поняттю „множина”? 2. Як позначають множини? 3. Як називають предмети з яких складаються множини і як їх позначають? 4. Чому множина відноситься до неозначуваних понять? 5. Як позначають множини? 6. Як називають об’єкти множин? Як вони позначаються? 7. Які існують способи задання множин? 8. Задайте переліком п’ять множин. 9. Задайте п’ять множин за допомогою характеристичної властивості. 10. Записати десять довільних множин. 11. Записати десять порожніх множин. 12. Яка множина називається підмножиною даної множини? Як це записати? 13. На які дві групи поділяються підмножини? 14. Які існують відношення між множинами? Як вони зображаються? 15. Які дві множини називаються рівними? Як це довести? 16. За якою формулою знаходиться число підмножин даної множини? 17. Що називається геометричною фігурою, колом, відрізком?
18. Чи можуть елементами множин бути множини? 19. Задайте п’ять множин і вкажіть до кожної із них підмножину. 20. Записати всі підмножини множини А={1, 2, 3, 4, 5}. 21. Задайте дві множини і утворіть їх об’єднання. 22. Утворити об’єднання множин А та В, якщо: а) А={1,2,3,4,5}, а В={а,в,с}; б) А={1, 3, 5, 7}, а В={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. 23. Задайте дві множини і утворіть їх перетин. 24. Утворіть перетин множин А={1, 2, 3, 4, 5} і В={1, 2, 4, 6,}. 25. Задайте чотири множини і утворіть їх перетини. 26. Довести А Ç В = В Ç А. 27. Доведіть закони операцій об’єднання і перетину за допомогою діаграм Ейлера-Венна чи міркуваннями. 28. Знайти різницю множин: а) А={а, в, с, d, t}, В={ а, в, t}; б) А={m,n,p,k,l}, В={а, в, с, k,l}; в) Z \ N; г) А={х/х=2 n, nÎN}, В={х /х=5n, n Î N}. 29. Довести кожен закон операцій над множинами одним із способів (міркуваннями чи за допомогою діаграм Ейлера-Венна). 30. Навести по 5 прикладів класифікацій із математики та навколишнього життя. 31. Розбити множину натуральних чисел на дві підмножини, що попарно не перетинаються. 32. Що таке впорядкована пара? Як вона позначається? Як називаються елементи, із яких складаються пари? Які пари називаються рівними? 33. Запишіть приклади впорядкованих пар, трійок. 34. Що називається кортежем довжини к? Як їх позначають? Які кортежі називаються рівними? 35. Що називається декартовим добутком множин Х і У? Як він позначається? Як його можна задавати? 36. Утворити Х´Х, якщо Х={а,в,с}. 37. Довести самостійно властивості 3-6, які пов’язують операції об’єднання, перетину, різниці та декартового добутку множин. 38. Виберіть дві скінченні множини, утворіть декартів добуток цих множин, задайте відношення між елементами цих множин кожним із шести відомих Вам способів. 39. Побудуйте граф відношення «менше» на множині Х={2, 3, 6, 7, 8} та з’ясуйте особливості цього графа. 40. Побудуйте граф відношення «≥» між елементами множини Х та з’ясуйте його особливості.
Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 305; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |