Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Способи доведення теорем (дедуктивний, індуктивний, метод від супротивного тощо)




2. Спочатку зазначимо, що довести теорему – це означає встановити логічним шляхом, що завжди, коли виконується властивість А(х) буде виконуватись і властивість В(х). Доведення теорем в математиці проводиться за правилом логіки без будь-яких посилань на наочність та досвід. У математиці існують різні способи доведення теорем, які класифікують по-різному. Серед різних способів доведення теорем зупинимося на характеристиці тих, які найчастіше зустрічаються в шкільному курсі математики. У першу чергу вкажемо на дедуктивний спосіб доведення теорем, сутність якого полягає в тому, що виходячи з умови теореми і використовуючи доведені раніше теореми, ми будуємо ланцюжок міркувань, який дозволяє нам переконатися в справедливості висновків теорем. Покажемо це на прикладі такої теореми «Сума внутрішніх кутів довільного трикутника дорівнює 180°».

Доведення: беремо довільний трикутник (див. малюнок № 2.1.) і проводимо через його вершину пряму, паралельну протилежній стороні (це можна зробити, оскільки доведено, що через точку, поза прямою можна провести пряму, паралельну даній). <1+<2+<3=180°, як сума кутів, які утворюють розгорнутий кут. <1=<4 – як внутрішні різносторонні при паралельних прямих та січній. Аналогічно <3=<5. Тоді рівність <1+<2+<3=180° перетвориться у рівність <4+<2+<5=180°. Отже, сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180°. Теорему доведено.

Сутність індуктивних доведень полягає в тому, що на основі розглянутих кількох окремих випадків ми робимо загальний висновок. Для того, щоб не розглядати всі часткові випадки, в математиці є метод доведення, який називається методом математичної індукції. Він складається з таких етапів: а) перевіряємо твердження для n=1; б) припускаємо істинність твердження при n=k; в) виходячи з припущення пробуємо довести істинність твердження при n=k+1. Тоді дане твердження буде справедливим для будь-якого натурального числа. Проілюструємо сказане на такому прикладі: довести, що добуток двох послідовних натуральних чисел ділиться націло на 2.

Доведення:

1. Перевіримо справедливість твердження для будь-якої пари послідовних натуральних чисел. Дійсно, добуток 1•2=2, а 2 кратне 2. Отже, для n=1 і n=2 твердження справедливе.

2. Припустимо, що твердження справедливе для будь-якої пари послідовних натуральних чисел n і n+1, тобто n(n+1)2.

3. Спробуємо довести справедливість твердження для n=k+1. Утворимо добуток (n+1)(n+2) і розкриємо другу дужку. Отримуємо (n+1)n+2(n+1). У цій сумі перший доданок (n+1)n ділиться націло на 2 згідно припущення, а другий доданок 2(n+1) ділиться націло на 2 згідно теореми про подільність добутку. Таким чином, кожен доданок суми ділиться на 2, а тому і сума (n+1)n+2(n+1)=(n+1)(n+2) поділиться націло на 2. Отже, теорему доведено.



 
 

 

 


Малюнок № 2.1.

 

Наступним способом доведень є спосіб доведення від супротивного, сутність якого полягає в тому, що ми заперечуємо висновок теореми і пробуємо це довести. В результаті ми приходимо до суперечності із умовою теореми або з доведеним раніше твердженням. Найбільш часто цей спосіб доведення використовують при доведенні теорем єдиності. Покажемо це на такому прикладі: якщо різниця двох дійсних чисел існує, то вона єдина.

Доведення: нехай нам дано два дійсних числа а,вєR. Згідно означення різниці число а-в=сєR. Припустимо, що різниця двох дійсних чисел не єдина. Нехай існують дві різних різниці, тобто: а-b=с1 і а-b=с2, причому с1≠с2. Звідси маємо а=b+с1 і а=b+с2, тобто b+с1=b+с2, а тепер с12, що суперечить вибору чисел с1 і с2. Ця суперечність говорить, що наше припущення про неєдиність різниці було хибним. Таким чином, якщо різниця існує, то вона єдина. Теорему доведено.





Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 957; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ‚аш ip: 54.198.102.92
Генерация страницы за: 0.087 сек.