Аксіоматичний метод у математиці та суть аксіоматичної побудови теорії

План

МОДУЛЬ ІІІ. «РІЗНІ ПІДХОДИ ДО ПОБУДОВИ АРИФМЕТИКИ ЦІЛИХ НЕВІДЄМНИХ ЧИСЕЛ».

Змістовний модуль 3.2. «Аксіоматична побудова арифметики цілих невід’ємних чисел.».

1. Аксіоматичний метод у математиці та суть аксіоматичної побудови теорії.

2. Система аксіом Дж.Пеано. Властивості аксіоматики (несуперечливість, повнота, незалежність) цілих невід’ємних чисел. Поняття натурального числа і нуля в аксіоматичній теорії.

3. Метод математичної індукції.

4. Аксіоматичне означення додавання цілих невід’ємних чисел в аксіоматичній теорії. Таблиці і закони додавання.

5. Аксіоматичне означення множення цілих невід’ємних чисел в аксіоматичній теорії. Таблиці і закони множення.

6. Відношення порядку на множині цілих невід’ємних чисел.

7. Означення віднімання і ділення цілих невід’ємних чисел в аксіоматичній теорії.

ЛІТЕРАТУРА: [1] – c. 124-140; [2] – с. 193-200; [3] – с. 197-229.

1. Існують різні підходи до побудови математичних теорій. Що вивчає кожна математична теорія? – деяку математичну структуру, тобто деяку множину, елементи якої можуть перебувати в певних відношеннях і мати певні властивості. В чому полягає зміст теорії? – а) в означенні понять і відношень; б) у доведенні властивостей об’єктів даної теорії; в) у доведенні відношень, визначених в цій теорії. Чи можна дати означення всіх понять? – ні, бо кожне означення зводить одне поняття до іншого, вже відомого. А чому не можна довести всі властивості? – бо кожне доведення полягає у виведенні нових властивостей з вже відомих. Отже, ми маємо протиріччя.

Як же в науці розв’язують ці протиріччя? – по-перше, вибирають основні неозначувані об’єкти і відношення; по-друге, формулюють деякі їхні властивості (аксіоми), які приймаються без доведення; по-третє, на основі неозначуваних понять і відношень та аксіом формулюють означення всіх понять і доводять на основі означень та аксіом всі інші твердження теорії. Такий метод побудови теорії одержав назву аксіоматичного.

У чому ж суть аксіоматичного методу побудови математичної теорії? – 1) задається деяка множина М основних об’єктів теорії, що будується; 2) вибирають первісні, неозначувані поняття; 3) вибирають первісні, неозначувані відношення між ними; 4) формулюють твердження, які приймаються без доведення та які називають аксіомами, бо їхня істинність перевірена багатовіковим досвідом людства; 5) формулюють означення всіх нових понять теорії, що будується, використовуючи первісні поняття; 6) формулюють і доводять твердження теорії, що будується, спираючись на означення та аксіоми. Такий метод побудови теорії вважається в математиці одним із найбільш поширених і строгих.

Цей метод з’явився ще до нашої ери, а його відкриття приписують Піфагору (ІІІ ст. до н. е.). Одним із найвідоміших застосувань аксіоматичного методу до побудови математичної теорії є “Начала” Евкліда (ІІІ ст. до н.е.), в яких він здійснив спробу аксіоматичної побудови геометрії. Поворотним етапом у розвитку цього методу стала побудова М.І.Лобачевським (1826 р.) неевклідової геометрії. Подальший розвиток аксіоматичного методу до побудови строгих наукових теорій знайшов своє застосування при побудові як математичних, так і інших наукових теорій різноманітних галузей природознавства. Таким чином, поступово сформувався сучасний підхід до аксіоматичної побудови теорії.

У своєму розвитку аксіоматичний метод пройшов три етапи: на першому етапі, який завершився у 3-4ст. до н.е. першими спробами аксіоматичної побудови геометрії Евклідом; другий етап завершився наприкінці 19 століття створенням Д.Гілбертом, Дж.Пеано та іншими аксіоматичних побудов математичних теорій; на третьому етапі Д.Гілберт та його учні створили формальні системи та формалізовану аксіоматичну теорію. Спочатку аксіоматичний метод був застосований для побудови геометрії, потім знайшов своє застосування в арифметиці, теорії ймовірностей, теорії множин тощо. Він також застосовувався в деяких розділах фізики (механіка, термодинаміка, електродинаміка тощо). Наявні спроби його застосування для побудови таких дисциплін як етика, соціологія, економічні теорії, біологія тощо, але поки що задовільних результатів це не дало.

2. Властивості аксіоматики (несуперечливість, повнота, незалежність) цілих невід’ємних чисел. Система аксіом Дж.Пеано. Поняття натурального числа і нуля в аксіоматичній теорії.

2. Що ж таке аксіома? – висловлення деякої теорії, що приймається при дедуктивній побудові цієї теорії без доведення. У середині століття, під впливом філософії Аристотеля, під аксіомою розуміли очевидні твердження, які не потребують доведення. Вчення І.Канта закріпило погляд на аксіоми, як на апріорні істини. Істотного удару по таким поглядам на аксіоми було нанесено російським математиком М.І.Лобачевским, який, замінивши лише одну аксіому, зумів побудувати нову геометрію. Таким чином аксіома – це твердження, яке перевірене багатовіковим досвідом людства і яке приймається без доведення.

Система аксіом будь-якої теорії повинна точно відображати властивості реального світу, задовольняючи при цьому певні вимоги логічного характеру. Такими вимогами є наступні:

а) несуперечливість, тобто із даної системи аксіом не можливо вивести хибне твердження, або довести два твердження, які б суперечили одне одному;

б) незалежність, тобто кожна з аксіом системи не може бути наслідком будь-якої іншої аксіоми системи;

в) повнота, тобто система аксіом повинна бути достатньою для побудови даної математичної теорії.

Слід відзначити, що аксіоматичний метод побудови теорії з'являється на певному етапі розвитку цієї теорії, як результат узагальнення її розвитку, хоча існують аксіоматичні теорії, які з'являються раніше за саму теорію. Систему аксіом цілих невід’ємних чисел систематизував італійський математик Дж.Пеано (1891 р.). В основу своєї аксіоматичної побудови він поклав ідеї видатного німецького математика Р.Дедекінда, висунуті ним у 1888 році. Основними поняттями цієї теорії є поняття унарної алгебраїчної операції або операції слідування. У математиці розглядають математичні структури, під якими розуміють певну непорожню множину М, на якій визначено певну сукупність алгебраїчних операцій з фіксованими їх основними властивостями (М; 0; '), де М - основна множина або носій цієї структури; 0 – це елемент цієї множини М і «'» - це унарна алгебраїчна операція слідування. Існують різні варіанти системи аксіом цілих невід’ємних чисел. Ми будемо дотримуватися наступної, зазначивши, що для всіх їх можна довести їхню рівносильність. Таким чином, можна прийняти таке означення цілих невід’ємних чисел.

Означення 1: невід’ємними цілими числами називаються елементи будь-якої структури (Z _o; 0; '), де Z _o – основна множина, 0 - нульовий елемент, ' (штрих) – символ унарної операції слідування (“безпосередньо слідує за”), в якій виконуються такі аксіоми:

Аксіома 1: нуль не йде ні за яким елементом множини цілих невід’ємних чисел Z₀ (символічно цю аксіому можна записати так: (VхєZ_o)[х'¹0, де х'=х+1]).

Аксіома 2: за кожним цілим невід’ємним числом безпосередньо йде одне ціле невід’ємне число – безпосередньо наступне число для даного числа (символічно ця аксіома запишеться так: (V х є Z_o)($!уєZ_o)[у = х']).

Аксіома 3: кожне ціле невід’ємне число, крім нуля, безпосередньо йде не більш як за одним цілим невід’ємним числом (символічно ця аксіома запишеться так: (Vх,уєZ_o)[х'=у'=>х=у]).

Аксіома 4 (аксіома індукції): якщо для будь-якої підмножини МÌZ_o виконуються умови: а) нуль належить множині М (символічно: 0єМ); б) із того, що х належить множині М випливає, що х¢ належить множині Z_o, тоді множина М співпадає з множиною цілих невід’ємних чисел Z_o (символічно це можна записати так: (0єМ)Ù[ VхєZ_o)[хєМ→х'єМ]→М=Z_o]).

Наведена система аксіом Дж.Пеано є формально-логічною основою для аксіоматичної побудови теорії цілих невід’ємних чисел. Розтлумачимо сутність і призначення аксіом системи. Майже у всіх аксіомах системи зустрічається символ х', який позначає число, яке безпосередньо слідує за числом х (наприклад, символ 0' слід розуміти як число, яке безпосередньо йде за числом 0, тобто 0'=0+1=1). Аксіома 1 стверджує, що найменшим цілим невід’ємним числом є число 0. Із аксіоми 2 випливає, що в множині цілих невід’ємних чисел не існує найбільшого числа. На основі аксіоми 3 можна твердити, що кожному цілому невід’ємному числу, крім 0, передує єдине ціле невід’ємне число.

Відповідно до вимог аксіоматичного методу побудови теорії, після того, як сформульовано систему аксіом, кожне нове твердження слід довести, спираючись на основні поняття, відношення між ними та аксіоми. На основі сформульованої системи аксіом Пеано доводяться всі теореми, які розглядаються в множині Zo чисел. Покажемо це на прикладі такої теореми «цілі невід’ємні числа, які слідують за різними цілими невід’ємними числами також різні» (символічно теорема запишеться так: (Vх, уєZo)[(х¹у)→(х'¹у')]). Доведення проведено методом від супротивного, тобто припустимо, що х'=у'. Тоді за аксіомою 3 (х'=у') → (х=у), а це суперечить тому, що х і у різні. Ця суперечність говорить, що наше припущення хибне, отже теорема справедлива.

3. Метод математичної індукції.

3. У свою чергу аксіома індукції, тобто аксіома 4, є теоретичною основою способу доведення тверджень, який одержав назву методу математичної індукції. Доведення методом математичної індукції ґрунтується на аксіомі 4 і складається з таких етапів: 1) перевіряємо істинність твердження при n=1 або n=2 (якщо маємо справу із сумою); 2) припускаємо, що наше твердження істинне при n=к, де к>1; 3) виходячи із припущення, пробуємо довести справедливість твердження при n=к'=к+1; 4) на основі аксіоми індукції робимо висновок про справедливість твердження для всіх цілих невід’ємних чисел. Сутність доведення тверджень цим методом розглянемо на конкретних прикладах.

Приклад 1: довести, що 1²+2²+3²+…+n²=.

Доведення:

1) перевіримо справедливість цього твердження при n=2, бо ліва частина рівності є сумою. Для цього знайдемо суму перших двох доданків лівої частини і порівняємо його із значенням правої частини рівності при n=2. Маємо: 1²+2²=1+4=5. . Отже, 5=5. Твердження при n=2 справедливе (якщо б воно було хибним, то далі проводити доведення не потрібно!);

2) припускаємо, що твердження справедливе при n=к, тобто 1²+2²+3²+…+к²=;

3) виходячи із припущення, тобто із того, що сума квадратів перших к натуральних чисел дорівнює , спробуємо довести, що сума перших к+1 натуральних чисел дорівнює . Утворимо в лівій частині даної рівності суму квадратів перших к+1 натурального числа. Для цього до лівої частини припущення додамо квадрат ще одного числа, тобто маємо: 1²+2²+3²+…+к²+(к+1)². Суму перших к доданків, згідно припущення, можна замінити виразом . У других дужках маємо квадратний тричлен, який можна розкласти в добуток лінійних множників згідно формули: ах²+вх+с=а(х–х₁)(х–х₂), де х₁ і х₂ – корені квадратного тричлена. Щоб розкласти квадратний тричлен 2к²+7к+6 на лінійні множники, розв'яжемо квадратне рівняння: 2к²+7к+6=0. Оскільки D=49–48=1>0, то к₁=-2; к₂=-3/2. Отже, 2к²+7к+6=2(к+2)(к+3/2)=(к+2)(2к+3). Тоді маємо =. Таким чином, ми одержали той вираз, який було потрібно;

4) отже, на основі аксіоми індукції, ми можемо твердити, що рівність справедлива для будь-якого натурального числа. Справедливість рівності доведено.

Приклад 2. Довести, що для будь-якого натурального n справедлива рівність: .

Доведення:

1) перевіримо справедливість твердження при n=2: . Твердження, при n=2 справедливе;

2) припустимо, що наше твердження справедливе при n=к, тобто ;

3) виходячи із припущення, спробуємо довести, що сума к+1 доданку лівої частини дорівнює . Щоб записати в лівій частині суму к+1 доданка до лівої частини припущення додамо ще один доданок. = Суму перших к доданків, згідно припущення, замінимо виразом: ==. Щоб розкласти чисельник на множники, розв’яжемо рівняння: 3к²+4к+1=0. к₁=-1, к₂=-1/3. =те, що і треба було довести.

4. Аксіоматичне означення додавання цілих невід’ємних чисел в аксіоматичній теорії. Таблиці і закони додавання.

4. Операцію додавання на множини цілих невід’ємних чисел також введемо аксіоматично. Для цього сформулюємо дві додаткові аксіоми, які визначають в множині цілих невід’ємних чисел бінарну алгебраїчну операцію, яка однозначно визначена і задовольняє аксіомам 5 – 6.

Означення: додаванням цілих невід’ємних чисел називається бінарна алгебраїчна операція (якщо вона існує!), яка кожній парі цілих невід’ємних чисел (а,в)єZo² ставить у відповідність ціле невід’ємне число (а+в)єZo, таке, що виконуються аксіоми 5 і 6.

Аксіома 5: для будь–якого цілого невід’ємного числа справедлива рівність а+0=а (символічно ці аксіома запишеться так: ("аєZo)(а+0=а). Вона визначає операцію додавання з нулем).

Аксіома 6: ("а,вєZo)(а+в'=(а+в)').

Інколи можна зустріти і таке формулювання аксіом:

Аксіома 5: при додаванні нуля до будь-якого цілого невід’ємного числа отримуємо те саме ціле невід’ємне число (символічно ця аксіома запишеться так: (VаєZ_o)[а+0=х]).

Аксіома 6: при додаванні до а будь-якого цілого невід’ємного числа, яке безпосередньо слідує за числом в, отримуємо ціле невід’ємне число, яке безпосередньо йде за числом а+в (символічно ця аксіома запишеться так: (Vа,вєZ_o)[а+в'=(а+в)']. Саме така рівність обумовлена тим, що в'=в+1, а тоді а+в'=а+(в+1)=(а+в)+1=(а+в)').

Ввівши аксіоматичне означення операції додавання цілих невід’ємних чисел, ми нічого не знаємо про її існування та єдиність. Саме тому слід довести відповідні теореми.

Теорема 1: (про існування та єдиність операції додавання):операція додавання в множині Z_o цілих невід’ємних чисел існує і єдина або існує одне і тільки одне відображення f: Z_o²®Z_o, яке кожній парі (а,в)єZ_o ставить у відповідність єдине ціле невід’ємне число (а+в)єZ_o.

Доведення:

Оскільки в теоремі йдеться про існування та єдиність, то доведення складається з двох частин. У першій частині методом від супротивного доведемо, що операція додавання, якщо вона існує, єдина. Після цього з використанням методу математичної індукції доводиться існування такої операції. Припустимо, що існує принаймні дві операції додавання, які позначимо + і , причому для них виконуються аксіоми 5 і 6: а+0=а, а+в'=(а+в)'; а0=а, ав'=(ав)'.

Розглянемо множину М, яка є підмножиною множини Z_o. Нехай у цій множині М ці дві операції додавання єдині, Покажемо, що множина М співпадає з множиною Z_o. Відповідно до методу математичної індукції потрібно перевірити виконання умов аксіоми 4. Оскільки а+о=а і а0=а, то а+0=а0, тобто для нуля обидві операції однакові (єдині) і 0єМ. Припустимо, що ці операції єдині для будь-якого цілого невід’ємного числа вєМ, тобто в+0=в0. Спробуємо довести, що в'єМ, тобто а+в'=ав' – умова аксіоми 6. Виконання цієї умови означатиме, що обидві операції додавання для в'єZ_o однакові, а тому в'єМ, а тоді за аксіомою 4 множина М співпадає з множиною цілих невід’ємних чисел Z_o, тобто в множині Z_o операції додавання + і виявились однаковими. Оскільки згідно припущення маємо: а+в=ав, то за аксіомою 6 а+в'=(а+в)'=(ав)'=ав'. Таким чином, і для в' операції + і однакові, тобто в'єZ_o. За аксіомою 4 можна твердити, що множина М співпадає з множиною Z_o. Саме тому наше припущення про неєдиність операцій додавання було хибним. Отже, якщо операція додавання існує, то вона єдина.

У другій частині доведемо, що операція додавання в множині Z_o існує. Для цього знову використаємо метод математичної індукції (в подальшому для скорочення пояснень будемо використовувати абревіатуру ММІ). Утворимо множину МєZ_o, в якій операція додавання існує і виконуються аксіоми 5 і 6: а+0=а; а+в'=(а+в)'. Спочатку застосуємо ММІ для в=0. Якщо а=0, то 0+0=0 (за аксіомою 5). 0+0'=(0+0)'=0'. Оскільки для а=0 аксіоми 5 і 6 виконуються, то 0єМ. Тепер застосуємо ММІ для довільного вєZ_o, тобто доведемо, що існує операція а+в, так, що виконуються аксіоми 5 і 6. Для цього припустимо, що 0+в=в, тоді 0+в'=(0+в)'=в' (за аксіомою 6). Таким чином, для 0 і довільного в операція додавання існує. Припустимо, що операція додавання виконується для довільного аєМ, тобто справджуються аксіоми 5 і 6. а+0=а, а+в'=(а+в)'. Спробуємо довести, що до множини М входить елемент а'. Для цього виберемо, що а'+в=(а+в)'. Перевіримо, чи виконуються аксіоми 5 і 6. а'+0=(а+0)'=а'; а'+в'=(а'+в)'=(згідно аксіоми 6)=((а+в)')'=(а+в')'. Отже, аксіома 6 для а' виконується, тому а'єМ. Оскільки вимоги аксіоми 4 виконані, то М=Z_o і операція додавання існує не тільки в множині М, а і в множині Z_o. Теорему доведено повністю.

Теорема 2: операція додавання в множині цілих невід’ємних чисел підкоряється асоціативному (сполучному) закону.

Символічно ця теорема запишеться так: ("а,в,сєZ_o)((а+в)+с=а+(в+с)=а+в+с).

Теорема 3: операція додавання в множині цілих невід’ємних чисел підкоряється комутативному (переставному) закону.

Символічно ця теорема запишеться так: ("а,вєZ_o)(а+в=в+а).

Ми вже зазначали, що в математиці доведено рівносильність теоретико-множинної та аксіоматичної теорії цілих невід’ємних чисел, а тому справедливість теорем 2-3 приймемо без доведення, зазначивши, що теореми 2 і 3 також доводяться з використанням методу математичної індукції. Аксіоми 5 і 6 та теореми 1-3 повністю визначають операцію додавання на множині цілих невід’ємних чисел, але для її виконання потрібно скласти відповідні таблиці додавання. Вони, якщо їх знати напам’ять, дадуть можливість швидко виконувати обчислення. В курсі математики початкових класів існують вісім таблиць додавання: таблиця додавання числа 2, таблиця додавання числа 3, таблиця додавання числа 4, таблиця додавання числа 5, таблиця додавання числа 6, таблиця додавання числа 7, таблиця додавання числа 8, таблиця додавання числа 9. Побудова таблиць додавання ґрунтується на наступній теоремі.

Теорема 4: для будь-якого цілого невід’ємного числа х справедлива рівність х+1=х′ (символічно: ("хєZ_o)(х+1=х′)).

Доведення:

Оскільки 1=0′, то х+1=х+0′. За аксіомою 6 маємо х+0′=(х+0)′. За аксіомою 5 маємо: х+0=х. Отже, х+1=х+0′=(х+0)′=х′, що і треба було довести.

Як відомо, виконання операції додавання ґрунтується на таблицях додавання. Їх будують, ґрунтуючись на аксіомах 5 і 6. Побудову таблиць додавання покажемо на кількох прикладах. Наприклад: 0+0=0 - за аксіомою 5; 0+1=0+0'(за аксіомою 6)=(0+0)'=0'=1; 2+2=2+1′=(2+1)′=3′=4; 3+2=3+1′=(3+1)′=4′=5; 5+2=5+1'=(5+1)'=6'=7.

5. Аксіоматичне означення множення цілих невід’ємних чисел в аксіоматичній теорії. Таблиці і закони множення.

5. Операцію множення на множини цілих невід’ємних чисел також введемо аксіоматично. Для цього сформулюємо дві додаткові аксіоми, які визначають в множині цілих невід’ємних чисел бінарну алгебраїчну операцію, яка однозначно визначена і задовольняє аксіомам 7–8. Аксіома 7 визначає правила знаходження добутку, коли другий множник дорівнює нулю, а аксіома 8 – вказує на правило знаходження добутку числа а та числа, яке безпосередньо йде за числом в. Операція, з допомогою якої знаходиться добуток, називається операцією множення. Отже, можна прийняти таке означення:

Означення: множенням цілих невід’ємних чисел називається бінарна алгебраїчна операція (якщо вона існує!), яка кожній парі цілих невід’ємних чисел (а,в)єZ_o² ставить у відповідність ціле невід’ємне число а×в - добуток чисел а і в - та задовольняє аксіоми 7 і 8:

Аксіома 7: при множенні будь-якого цілого невід’ємного числа а на нуль отримуємо нуль (символічно ця аксіома запишеться так: (VаєZ_o)[а×0=0]).

Аксіома 8: при множенні будь-якого цілого невід’ємного числа а на число, що безпосередньо йде за числом в, отримуємо ціле невід’ємне число а×в+а (символічно ця аксіома запишеться так: (Vа,вєZ_o)[а×в'=а×в+а]).

Оскільки в означенні нічого не говориться про існування та єдиність такої операції, а також про закони, яким вона підкоряється на множині цілих невід’ємних чисел, то слід довести відповідні теореми.

Теорема 5 (про існування та єдиність добутку): операція множення цілих невід’ємних чисел існує і єдина або існує одне і тільки одне відображення f: Z_o²®Z_o, яке кожній парі (а,в)єZ_o² ставить у відповідність єдине число а×вєZ_o так, що виконуються аксіоми 7 і 8.

Доведення: доведення складається з двох частин. У першій частині доведемо єдиність операції множення. Доведення проводиться аналогічно до теореми про єдиність операції додавання (пропонуємо студентам виконати відповідне завдання № 1 для самостійної роботи).

У другій частині доведемо існування бінарної алгебраїчної операції. Для доведення існування відповідності Z_o²®Z_o використаємо метод математичної індукції (ММІ). Утворимо деяку множину МÌZ_o, в якій операція множення існує і підкоряється аксіомам 7 і 8. Якщо а=0, то будемо вважати, що для довільного вєZ_o а×в=0. Таке відображення задовольняє аксіоми 7 і 8, бо при а=0, маємо 0×0=0 (за аксіомою 7) і 0×в'=0×в+0=0+0=0. Отже, 0єМ. Припустимо, що для аєМ операція множення існує, тобто виконуються аксіоми 7 і 8: а×0=0; а×в'=а×в+а. Спробуємо довести, що а'єМ. Виберемо, що а'в=ав+в, а потім покажемо, що ця рівність визначає для а' добуток, який підкоряється аксіомам 7 і 8.

а'×0=а×0+0 (згідно вибору) =0+0 (згідно аксіоми 7) =0 (за аксіомою 5). Розглянемо а'в=ав'+в'= (згідно вибору ав') =ав+а+в+1= (за аксіомою 8 та означенням в') =(ав+в)+(а+1)= (згідно переставного і сполучного законів додавання) =а'в+а' (згідно вибору а'в та визначення а'). Отже, для а' виконується аксіома 8, а тому а'єМ. Таким чином, множина М=Z_o, бо для М виконуються всі вимоги аксіоми 4. Теорема доведена.

Теорема 6: операція множення на множині цілих невід’ємних чисел підкоряється комутативному (переставному) закону (символічно: ("а,вєZ_o)[а×в=в×а]).

Теорема 7: операція множення на множині цілих невід’ємних чисел підкоряється асоціативному (сполучному) закону (символічно: ("а,в,сєZ_o)[(а×в)×с=а×(в×с)]).

Теорема 8: операція множення на множині цілих невід’ємних чисел пов’язана з операцією додавання дистрибутивним (розподільним) законом множення відносно додавання (символічно: ("а,в,сєZ_o)[(а+в)×с=а×с+в×с]).

Так само, як і для операції додавання, доведення теорем 6-8 проводиться з використанням методу від супротивного та методу математичної індукції. Ми приймемо справедливість цих теорем без доведення, враховуючи еквівалентність різних теорій цілих невід’ємних чисел. На основі аксіом 7 і 8 та теорем 6-8 можна побудувати таблиці множення, з допомогою яких можна значно спростити знаходження добутку будь-яких цілих невід’ємних чисел. Ці таблиці слід знати напам’ять. Існує вісім таблиць множення: на 2, на 3, на 4, на 5, на 6, на 7, на 8, на 9. Їх побудову покажемо на кількох прикладах. 2×2=2×1¢=2×1+2= (згідно аксіоми 8) =2 (згідно аксіоми 7)+2=4 (згідно таблиці додавання). 5×6=5×5¢=5×5+5=25+5=30.

Дата добавления: 2014-01-05