Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Десяткові дроби, їх порівняння, операції над ними. Перетворення десяткових дробів у звичайні та звичайних у десяткові

8. Ми вже розглянули три числових множини: натуральні, цілі та раціональні числа. У кожній із цих множин ми навчилися порівнювати та виконувати арифметичні операції додавання, віднімання, множення і ділення. При порівнянні чисел виявилося, що натуральні і цілі числа набагато простіше порівнювати, ніж дробові. Разом з тим, досить легко порівнювати дробові числа з однаковими знаменниками. Саме ця ідея й була використана для запису дробових чисел без знаменника, що значно спрощувало порівняння таких чисел. Розглянемо систему числення з основою q. У такій системі числення довільне натуральне число nєN можна записати як суму добутків цифр цієї системи на степені основи системи числення наступним чином: n=akqk+ak-1qk-1+ak-2qk-2+…+a2q2+a1q1 +a0q0, де nєN і ak, ak-1, ak-2,…, a2, a1, a0 – цифри числа n у системі числення з основою q. Інколи таке число записують і так: n=akak-1ak-2…a2a1a0. При таких записах порівнювати та виконувати арифметичні операції набагато простіше, бо існують відповідні алгоритми.

Видатний узбецький математик і астроном аль-Коші продовжив такий запис на числа менші за одиницю, відділивши більші за одиницю та менші за одиницю числа комою. Завдяки цьому він отримав такі записи: 1) r=akqk+ak-1qk-1+ak-2qk-2+…+a2q2+a1q1+…+a0q0+b1q-1+b2q-2+b3q-3+…+bmq-m, де ak, ak-1, ak-2, …, a2, a1, a0, b1, b2, b3,…,bm – цифри числа r у системі числення з основою q; 2) r=akak-1ak-2…a2a1a0b1b2b3…bm. Такі дробові числа прийнято називати системними або систематичними дробами.

Означення: системним або систематичним дробом називають дріб, чисельник якого записано у деякій позиційній системі числення з основою q, а знаменник дорівнює степені основи q.

Якщо q=10, ми приходимо до поняття десяткових дробів, наприклад: 864,23=8•102+6•101+4•100+2•10-1+3•10-2=86423/102. Отже, приймаємо таке означення та без доведення кілька теорем.

Означення: десятковим дробом називається звичайний дріб із знаменником, що дорівнює степені десяти, записаний в десятковій позиційній системі числення

Означення: цифри, що стоять у десятковому дробі після коми, називаються десятковими знаками.

Теорема 1: множення десяткового дробу на 10n досягається перенесенням коми на n знаків (цифр) вправо.

Теорема 2: ділення десяткового дробу на 10n досягається перенесенням коми на n цифр вліво.

Теорема 3: дописування або відкидання у десятковому дробі нулів, які стоять наприкінці десяткового дробу, не змінює його величини.

Теорема 4: для зведення десяткових дробів до спільного знаменника достатньо приписати до того десяткового дробу, в якого менше десяткових знаків, стільки нулів, щоб десяткових знаків в обох дробах стало порівну.

На основі цієї теореми можна вважати, що всі десяткові дроби зведені до спільного знаменника.

Означення: число, яке стоїть у десятковому дробові до коми, називається цілою частиною. Число, яке стоїть у десятковому дробові після коми, називається дробовою частиною.

Теорема 5: із двох десяткових дробів більшим є той, у якого ціла частина більша. Із двох десяткових дробів з рівними цілими частинами більшим є той, у якого більший перший з нерівних десяткових знаків.

Для того, щоб виконувати операції над десятковими дробами, спочатку розглянемо питання про можливість перетворення звичайних дробів у десяткові та десяткових у звичайні. З шкільного курсу математики відомо, що легко перетворити будь-який десятковий дріб у звичайний, а от не всякий звичайний дріб можна перетворити у десятковий. Для перетворення десяткового дробу в звичайний його записують із знаменником, який є степенем числа 10, а потім, по можливості, проводять скорочення звичайного дробу до нескоротного. Відповідь про можливість перетворення звичайного дробу у десятковий дає наступна теорема.

Теорема 6: для того, щоб нескоротний дріб можна було записати у вигляді десяткового дробу, необхідно і достатньо, щоб до канонічного розкладу знаменника входили лише прості множники 2 і 5.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Властивості множини невід’ємних раціональних чисел | Доведення. Оскільки у формулюванні теореми є словосполучення необхідно і достатньо, то доведення складатиметься з двох частин
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 896; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.014 сек.