Теорема 2. Достаточные условия существования локального экстремума

Пусть задана функция у которой все вторые частные производные

непрерывны в. Пусть -стационарная точка этой функции.

Вычисляем в точке и составляем определитель

(10)

ТОГДА СТАЦИОНАРНАЯ ТОЧКА БУДЕТ:

1) Точкой локального максимума, если

2) Точкой локального минимума, если

3) не экстремальной точкой, если

Замечание. Если, то требуются дополнительные исследования.

Рассмотрим поясняющие примеры.

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию

Решение. Находим стационарные точки функции

Для тестирования точки применяем алгоритм теоремы 2

В точке (-3;1) локальный минимум равный -5. Данная функция является эллиптическим параболоидом.

Пример 3. Исследовать на экстремум функцию

Решение. Находим стационарные точки функции

Для тестирования точки применяем алгоритм теоремы 2

В точке (1;-1) локальный максимум равный 14. Данная функция является эллиптическим параболоидом.

Пример 4. Исследовать на экстремум функцию

Решение. Находим стационарные точки

Для тестирования точки применяем алгоритм теоремы 2

Экстремума нет. Седловая точка. Данная функция является гиперболическим параболоидом.

Пример 5. Исследовать на экстремум функцию

Решение. Находим стационарные точки

Прямая целиком состоит из стационарных точек

Нужны дополнительные исследования. Поскольку поверхность

цилиндрический параболоид прямая х=0 состоит из точек нестрогого локального минимума.

Пример 6. Исследовать на экстремум функцию (параболоид)

Решение. Находим стационарные точки функции

следовательно стационарных точек нет и значит нет экстремумов

Поверхность цилиндрический параболоид.

Исследуем на экстремум произвольные функции, графики которых не являются поверхностями второго порядка. Используя тот же алгоритм, предложенный в теореме 2.

Исследовать функции на экстремум

Пример 7.

Пример 8.

Пример 9.

Решение примера 1. Вычислим частные производные

Находим стационарные точки. Для этого решаем систему уравнений

Таким образом существует только одна стационарная точка в которой функция

может достигать экстремума. Вычисляем в точке и составляем определитель

Так как, то по теореме 2 пункт 2) точка -экстремальная.

.

Решение примера 2. Вычислим частные производные

Находим стационарные точки. Для этого решаем систему уравнений

Таким образом существует только одна стационарная точка в которой функция

может достигать экстремума. Вычисляем в точке и составляем определитель

Так как, то по теореме 2 пункт 3) в точке нет экстремума.

Решение примера 1. Вычислим частные производные

Находим стационарные точки. Для этого решаем систему уравнений

Таким образом существует только одна стационарная точка в которой функция

может достигать экстремума. Вычисляем в точке и составляем определитель

Так как, то по теореме 2 пункт 1) точка -экстремальная.

.

Упражнение 3. Исследовать функции на экстремум

Дата добавления: 2014-01-05