Метод переходных вероятностей

Метод переходных вероятностей используется при анализе надежности систем в фиксированные моменты времени. Здесь известны вероятности переходов из одного состояния в другое. Метод применяется при анализе надежности систем с дискретным временем (программное управление различными технологическими объектами и т.п.).

Если у объектов со счетным множеством состояний выполняется условие ординарности потоков отказов и отсутствия последствия, то для описания их надежности используются алгебраические уравнения.

Пример.

Пусть объект может находиться в двух состояниях H₁ и H₂, его граф представлен на рисунок 3, где P₁₁ и P₂₂ определяют вероятности сохранения соответствующих состояний H₁ и H₂; P₁₁ и P₂₂ характеризуют вероятности перехода соответственно из состояний H₁ и H₂ в состояния H₂ и H₁.

P₂₂

P₁₂

P₂₁

P₁₁

H₂

H₁

Рисунок 3. Диаграмма вероятностей перехода

Матрица переходов для объекта равна

В матрице М столбец определяет вероятность сохранения i -го состояния и перехода в него из других при срабатывании в один такт, от (m-1) к m.

Строка в матрице определяет распределение вероятностей каждого из состояний, то есть вероятность сохранения i -го состояния и вероятности перехода из i -го состояния в другие. Таким образом, матрица является квадратной, число ее строк и столбцов определяется числом возможных состояний объекта. Матрица переходов является стохастической, то есть сумма членов каждой строки равна 1 (контроль за правильностью составления матрицы).

Начальное распределение вероятностей состояния объекта определяется вектором-строкой. Так если начальное состояние первое, то. Вероятность нахождения объекта в том или ином состоянии после m последовательных тактов равна

(*)

где - вектор-столбец, элементами которого являются 0 или 1, причем 1 соответствует анализируемому состоянию.

Так если необходимо определить вероятность нахождения объекта во втором состоянии, то

После двух тактов при начальном первом состоянии вероятность нахождения объекта во втором состоянии составит

.

При анализе надежности сложных систем с большим числом состояний для упрощения используется свойство стохастичности матриц надежности и z -преобразование матриц.

Для эргодических марковских объектов при распределение вероятности между возможными состояниями не зависит от начального состояния объекта. Это позволяет определить предельное распределение вероятности путем решения алгебраических уравнений, составленных по матрице переходов.

где - вероятности нахождения в состоянии H₁ и H₂ при.

Матричный метод расчета с использованием теории линейных графов применим для анализа объектов с непрерывным временем.

Пример.

Для системы технологической защиты возможны три состояния: H₁ – работоспособное; H₂ – отказовое, вызываемое ложным срабатыванием; H₃ – отказовое, вызываемое несрабатыванием при поступлении сигнала. В начальный момент времени система может находиться в любом из возможных состояний с вероятностями. Вероятность ложного срабатывания за время Δt составляет 0,05; устранение этого вида отказа осуществляется с вероятностью 0,85. Вероятность несрабатывания системы – 0,15; вероятность устранения – 0,9.

Определить предельное распределение вероятностей между состояниями системы и вероятность нахождения ее в работоспособном состоянии в конце интервала Δt.

Решение.

Граф состояний системы представлен на рисунке.

0,15

0,64

0,05

0,8

0,8

0,15

0,85

0,1

0,085

0,15

0,9

H₂  

H₃  

0,1

0,15

0,05

0,85

H₁  

0,8

0,1

0,9

0,1

0,09

Дерево состояний

Рисунок 4. Граф состояний системы

Ему соответствует матрица переходов

Согласно выражению (*) вероятность работоспособного состояния системы определяется произведением матриц

Для определения предельного распределения вероятностей состояний решается следующая система уравнений

откуда. Таким образом, на 100 работоспособных состояний системы будет приходиться 5 ложных срабатываний и 14 несрабатываний.

Дата добавления: 2014-01-05