Канторово множество

Решение.

Пример 2.

Примеры вычисления интеграла Лебега.

Интеграл Лебега от неограниченной функции.

Теорема.

Интеграл Лебега от ограниченной функции.

Определение.

Измеримые функции.

Числовая функция, определенная на множестве Е, где Е подмножество евклидового пространства называется измеримой, если измеримы множество E и все множества

.

Пусть – ограниченная измеримая функция, определенная на измеримом множестве E (Е – измеримое множество конечной меры) евклидового пространства и принимающая значения строго между А и В:.

Разобьем отрезок [ А,В ] оси Оу точками и построим следующие суммы:

,

где. Эти суммы называются соответственно нижней и верхней суммами Лебега. Наибольшая длина отрезков при данном разбиении называется шагом разбиения и обозначается.

Если существует общий предел верхних и нижних сумм Лебега при, то называется интегрируемой по Лебегу на множестве Е и этот общий предел сумм Лебега называется интегралом Лебега от по множеству Е:

E называется областью интегрирования.

Всякая ограниченная измеримая на Е функция интегрируема по Лебегу на этом множестве (предполагается, что Е – множество конечной меры).

Пусть – неограниченная измеримая функция постоянного знака, например, всюду на.

Построим вспомогательную функцию [ ], («срезка» функции числом t), которая определяется следующим образом:

Эта функция измерима и ограничена числами 0 и t.

Интеграл Лебега от неограниченной функции но множеству Е определяется равенством

Указанный предел всегда существует, но он не обязательно равен конечному числу (он может равняться и). Если конечен, то функция называется суммируемой на Е (или интегрируемой по Лебегу на Е); если этот интеграл бесконечен, то функция называется не суммируемой (или не интегрируемой по Лебегу).

Интеграл от знакопеременной измеримой неограниченной функции на Е определяется равенством

где

то есть

Функция называется суммируемой, если и обе суммируемы. Функция не суммируема, если хотя бы одна из неотрицательных функций не суммируема.

Вычислить с точностью до 0.01 интеграл Лебега от функции на множестве Е, которое получается, если из отрезка [0,1] выбросить интервалы

Множество E является объединением отрезков

и.

а также множества меры нуль, состоящего из двух точек: 0 и 1. На каждом из этих отрезков функция интегрируема по Риману; поэтому

Этот ряд абсолютно сходится, и его сумма с точностью до 0.01 равна 0.10. Для достижения данной точности достаточно в данном случае взять 3 слагаемых.

Если множество замкнуто и не содержит изолированных точек, то оно называется совершенным. Важным примером совершенного множества является канторово множество D, которое строится следующим образом:

из отрезка [0,1] исключается интервал.

Затем из оставшихся двух отрезков (отрезков первого ранга) исключаются интервалы длины с центрами в серединах этих отрезков; затем из оставшихся четырех отрезков (отрезков второго ранга) выбрасываются интервалы длины с центрами в серединах этих отрезков и так далее до бесконечности. Точки канторова множества разделяются на точки первого рода - концы выбрасываемых интервалов (их счетное множество) и точки второго рода (все остальные точки множества D; их - множество мощности континуум). D имеет следующую арифметическую структуру:

оно включает те и только те точки отрезка [0,1], которые могут быть записаны в виде троичной дроби (конечной или бесконечной), не содержащей единицы в числе своих троичных знаков.

Дата добавления: 2014-01-05