Вычисление объёмов тел

Лекция 8. Длина дуги и ее вычисление. Вычисление объёмов тел

3. Вычисление длины дуги

Пусть на плоскости задана некоторая незамкнутая кривая (см. рис. Р16). Произведем разбиение

этой дуги на частичные дуги в каждую из которых впишем хорду. Тогда получим ломанную, вписанную в дугу. Пусть длина хорды

Определение 3. За длину дуги кривой принимают предел, к которому стремится периметр ломанной, вписанной в эту дугу, при стремлении длины максимального звена этой ломанной к нулю, т. е. Если кривая замкнутая, то разбивают ее двумя несовпадающими точками на две незамкнутые кривые и и тогда дл. дл. дл.

Теорема 4. Если дуга задана уравнением где функция непрерывно дифференцируема на отрезке то ее длина вычисляется по формуле

Доказательство. Произведем разбиение отрезка на частичные отрезки Это разбиение порождает разбиение дуги на частичные дуги По определению 3 имеем Длина хорды равна (см. рис. Р17) величине

По теореме Лагранжа существует точка такая, что

поэтому Учитывая это, получаем, что

Теорема доказана.

Замечание 2. Величина называется дифференциалом дуги Учитывая, что её можно записать в виде Мы получили теорему Пифагора для криволинейного треугольника с катетами и “гипотенузой” Теперь формулу (1) для вычисления длины дуги можно записать кратко так: Эта форма записи длины дуги особенно удобна, если дуга задана параметрически или в полярной форме. Из нее можно получить следующие утверждения.

Теорема 5. Если дуга задана параметрически уравнениями где функции непрерывно дифференцируемы на отрезке то ее длина вычисляется по формуле

Если дуга задана в полярных координатах уравнением где функция непрерывно дифференцируема на отрезке то её длина вычисляется по формуле

Действительно, если задана в параметрической форме, то

Рекомендуем получить формулу длины дуги в полярных координатах самостоятельно.

Например, если дуга задана уравнением то её длина равна

С помощью определенного интеграла можно вычислять и объёмы тел. Дадим соответствующие формулы.

Теорема 6. Пусть тело заключено между плоскостями и а площадь его поперечного сечения плоскостью Если функция непрерывна на отрезке то объём тела вычисляется по формуле

Доказательство. Произведем разбиение

отрезка на частичные отрезки и обозначим через диаметр разбиения Проведём плоскости. Эти плоскости разобьют тело на тела, которые при малом можно считать прямыми круговыми цилиндрами с высотой и основаниями – кругами площадью где произвольная фиксированная точка отрезка а площадь поперечного сечения тела плоскостью. Объём тела приближенно равен а объём всего тела - приближенно равен сумме объёмов всех тел, т.е.

Это равенство будет тем точнее, чем мельче разбиение, и при оно становится точным. Следовательно,

Теорема доказана.

Замечание 3. Если тело получено вращением криволинейной трапеции

вокруг оси, то объём этого тела вычисляется по формуле

Действительно, в этом случае поперечное сечение является кругом радиуса поэтому Аналогично вычисляется объём тела, полученного вращением вокруг оси криволинейной трапеции (конечно, в выписанных формулах для предполагается, что функции и непрерывны на соответствующих отрезках).

И, наконец, отметим, что при доказательстве необходимого признака локального экстремума, достаточных условий монотонности функций и при обосновании правила Лопиталя используются следующие основные теоремы дифференциального исчисления.

Теорема Ролля. Пусть функция удовлетворяет требованиям: неперевына на отрезке дифференцируема по крайней

мере на интервале

Тогда найдется хотя бы одна точка такая, что

Теорема Лагранжа. Пусть функция удовлетворяет требованиям: неперевына на отрезке дифференцируема по крайней

мере на интервале

Тогда найдется хотя бы одна точка такая, что

Теорема Коши. Пусть функции и удовлетворяют требованиям:

и неперевыны на отрезке и дифференцируема по крайней мере на интервале

Тогда найдется хотя бы одна точка такая, что

Рекомендуем дать геометрические иллюстрации теорем Ролля и Лагранжа.

Типовые задачи для первого курса ИПЭЭф (лектор Сафонов В.Ф.)

1. Вычислить производную функции.

2. Дана пирамида с вершинами Написать уравнение плоскости, проходящей через точку и середины ребер

3. Вычислить интеграл

4. Даны точки Найти объём пирамиды, построенной на векторах

5. Найти производную функции и её асимптоты.

6. Дана пирамида с вершинами Найти уравнение прямой, содержащей ребро

7. Вычислить интеграл

8. Даны точки Найти угол между векторами и

9. Вычислить интеграл

10 Даны точки Найти площадь

11. Найти экстремумы функции и её асимптоты.

12. Решить систему уравнений

13. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

14. Решить систему уравнений

15. Вычислить производную функции.

16. Найти точку пересечения прямой с плоскостью

17. Вычислить производную функции

18. Найти координаты вектора в базисе если задан в базисе и если

19. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

20. Найти матрицу оператора в стандартном базисе пространства Найдите образ вектора непосредственно и используя матрицу оператора.

21. Найти абсциссы точек перегиба и участки выпуклости и вогнутости кривой

22. Дана пирамида с вершинами Найти уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно грани

23. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

24. Найти решение системы методом Крамера:

25. Вычислить производную функции

26. Даны точки Найти площадь

27. Вычислить интеграл

28. Даны точки Найти уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельную плоскости

29. Найти производную функции и её асимптоты.

30. Даны точки Найти косинус угла между векторами и

31. Вычислить интеграл

32. Решить систему уравнений

33. Найти абсциссы точек экстремума функции и её асимптоты.

34. Пусть Найти

35. Вычислить интеграл

36. Пусть Решить уравнение

37. Вычислить производную от функции в точке

38. Найти собственные векторы и собственные значения матрицы

39. Вычислить производную функции, заданной параметрически уравнениями

40. Найти ядро оператора действующего по закону

41. Вычислить интеграл

42. Дан треугольник с вершинами Написать

уравнение медианы

43. Вычислить предел

44. Найти собственные векторы и собственные значения матрицы

45. Вычислить предел

46. Найти базис ядра оператора действующего по закону

47. Построить график функции используя первую производ-

ную.

48. Решить систему уравнений методом обратной матрицы.

49. Вычислить предел

50. Будет ли матрица обратной к матрице?

Дата добавления: 2014-01-05