Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Ортогональные матрицы

Действия над линейными операторами.

Диагональный вид матрицы линейного оператора

Пусть имеем линейный оператор с матрицей А.

Теорема: «Условие диагональности матрицы»

Матрица линейного оператора имеет диагональный вид тогда и только тогда, когда каждый базисный вектор является собственным вектором этого оператора Z

Приводимой к диагональному виду называется такая матрица А, у которой существует невыраженная матрица, для которой: Т-1·A·I, полученная матрица называется диагональной. Чтобы построить матрицу I нужно определить собственные числа из характеристического уравнения для матрицы А.

Теорема: Матрица А линейного оператора IRN-го пространства приводится к диагональному виду тогда и только тогда. Когда существует базис этого пространства, состоящий из собственных векторов. Доказательство основывается на предыдущей теореме и определении.

Матрица будет приводится к диагональному виду, если все её собственные числа λi попарно различные.

Произведением (композицией) линейного оператора А на линейный оператор В называется линейный оператор являющийся последним применением операторов А и В, обозначается: В×А, т.е. для вектора Х имеет вид: В×Ах=В(Ах)

Произведение линейных операторов, само является оператором.

Действительно для любых х и у исходя из определения линейного оператора получим:

В×А=(λх+βу)=В(А(λх+βу))=В(А(λх)+А(βу))=λВ(Ах)+βВ(Ау).

Теорема: если в некотором базисе линейного оператора А и В имеют соответственно матрицы А и В, то их произведение В×А имеет матрицу В·А

Сумма многих операторов А и В некоторого линейного пространства, имеет такой оператор К, что для любого вектора х выполнится равенство:

Кх=Ах+Вх

Для оператора справедлива формула: А+В=В+А

Теорема: если линейные операторы А и В в некотором базисе имеют в этом же базисе матрицу (А+В).

Линейные операторы могут быть вырожденными и невырожденными.

Теорема: произведение двух невырожденных операторов, есть невырожденный оператор.

Доказательство:

Пусть матрицы А и В – матрицы невырожденных операторов А и В. тогда det A ≠0, (∆A≠0), det B≠0 (∆B≠0)

Произведению многих операторов соответствует матрица В·А. покажем что она тоже является невырожденной: det(B·A)=detB·detA≠0 => и оператор является невырожденным.

Пусть имеется Евклидово IRN-ное пространство.

Матрица ортонормированной системы векторов:

а1=( а11­, а21,…, аn1)

а2=( а12­, а22,…, аn2)

аn=( а1n­, а2n,…, аnn)

называется ортогональной.

Для ортонормированных векторов имеет

Единичные матрицы ортогональны, пример (det=1)



Теорема: для того. Чтобы матрица А была ортогональной, необходимо и достаточно чтобы выполнилось равенство: Ат·А=Е

Доказательство:

Пусть В= Ат·А, то элементы матрици будут равны:

(1)

 

- элементы транспонированной матрицы, поэтому «=» означает, что В=Е=> Ат·А=Е, и обратно если Ат·А=Е, то имеем равенство (1), что означает ортогональность матрицы А.

С1: модуль определителя ортогональной матрицы равен еденице

С2: ортогональная матрица невырожденная

С3: произведение двух ортогональных матриц – ортогональная матрица

С4: необходимым и достаточным условием ортогональности матрицы А является условие: Ат-1

С5: при транспонировании ортогональной получится ортогональная матрица

С6: матрица обратная ортогональной тоже ортогональна, но в сумме ортогональных матриц не является ортогональной.

Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной.

Ортогональный оператор – это оператор Евклидова пространства, матрица которого ортогональна, в некотором ортонормированном базисе.

Теорема: линейный оператор Евклидова пространства является ортогональным тогда и только тогда, когда она переводит ортонормированный в ортонормированный.

Известно что ортогональный оператор не меняет скалярного произведения вектора(=> из выражения скалярного произведения через координаты векторов в ортонормированном базисе, а => не меняется норма вектора и угол)

Любой ортогональный оператор является не вырожденным.

Симметричные операторы Евклидова пространства:

Линейный оператор А Евклидова пространства Еn называется симметрическим или самосопряжённым, если для любых 2ух векторов а и b этого пространства выполняется равенство: (Аа, b)=(a, Ab), т.е. если в скалярном произведении символ оператора может переносить с одного множества на другой.

Симметричный оператор Евклидова пространства, в любом ортонормированном базисе, задаётся симметрической матрицей(условие верно и наоборот).

Доказательство:

Пусть вначале симметричный оператор А в ортонормированном базисе е­1, е­2,…, е­n задаётся матрицей т.е. справедливо равенство: Ае=А·е, так как базис ортонормированный то из аксиом скалярного произведения получим:

(Аеi, e­j)

(e­j, Аеi)=

Поскольку А симметричный оператор, то из определения симметрического оператора: А=>

A – линейный оператор заданный в базисе е1, е2,… еn, - справедливо для всех элементов матрицы А. возьмем произвольно 2 вектора пространства:

(Ab, c)=(b, Ac),

Поскольку, е1 … еn – ортогональный базис

а так как αij= αji , то (Ab,c)=(b,Ac)

 

Теорема: ­ все характеристические корни симметричного оператора действительны.

Теорема: линейный оператор Евклидова пространства тогда и только тогда может быть симметрическим, когда в пространстве найдётся ортонормированный базис, каждый вектор которого, является собственным вектором оператора.

Собственные векторы симметричного оператора, относится к различным собственным, значения ортонормированны между собой.

 

Т2: Квадратичные формы

f(x1,x2,…,xn)=

Пример: пусть дана квадратичная форма:

A=

Приведение квадратичной формы к нормальному виду.

Квадратичная форма f(x1,x2,…,xn) называется канонической, если она не содержит произведений различных переменных, т.е.

f(x1,x2,…,xn)=

r – ранг квадратичной формы

Каноническая квадратная форма называется нормальной, если: (aii)=1, т.е. отличные от нуля, коэффициенты при квадратных переменных =1 или=-1

f=

f=

Если квадратичная форма f с матрицей А ранга r, невырожденным линейным преобразованием, приводится к каноническому виду, то количество отличных от нуля коэффициентов b=r.

Матрица канонического вида имеет диагональный вид.

Теорема: любая квадратичная форма некоторых невырожденным линейным преобразованиям, может быть преобразована к каноническому типу.

Где

Доказательство:

Докажем методом матричной индукции.

При n=1 теорема верна: f(x1)=, докажем теорему для квадратичных форм от n-ых переменных. Предположим что среди коэффициентов aii квадратичной формы f(x1,x2,…,xn)=, имеется а11≠0, тогда:

;

Перейдя к новым переменным у:

; получим квадратичную форму f2=f2(y2,…,yn), так как квадратичная форма зависит от количества переменных, по предположению и можно привести к каноническому виду => квадратичная форма , может быть приведена к каноническому виду.

Преобразование переменных являющиеся невырожденными

; a11≠0 (*)

ð Невырожденная «а» и приводит к виду *

Если известен ранг формы, то задание любого из трёх указанных чисел.

Теорема: две действительные квадратичные формы от n-переменных когерентны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые ранги и сигнатуры

Действительная квантовая форма является f-неположительной опорной, если они приводятся к нормальному виду, состоящего из n-положительных.

Теорема: квадратичная форма f с действительной матрицей является тогда и только тогда, когда её миноры положительны. Т.е. миноры порядка 1 и 2 и т.д. матрицы А, расположены в левом верхнем ряду.

Теорема: если существует ортогональное преобразование с матрицей С приводящая действительную квадратичную форму: f(x1,…,xn) к каноническому виду φ(у1,…,уn)=, то n-характеристические числа матрицы А, квадрат формы f.

Доказательство:

Пусть ортогонально преобразован Х=СУ, где С приводит квадратичную форму f к каноническому виду (1), тогда матрица формы φ имеет вид: ; поскольку D=CTA∙C, см теорему выше, и С ортогональная матрица то СТ-1 => D= С-1∙A∙C => λi – являются характеристическими числами матрицы А, принимая во внимание выражение D=CTA∙C, С-1∙С=Е и умножая слева на матрицу С первое равенство, получаем: CD=CCT∙A∙C; CD=CC-1∙A∙C; CD=AC =>

=> AC=C (2)

Для элементов bij матрицы В, В=АС, согласно правилу умножения выполнится равенство: bij= аi1 ∙с1j + аi2 ∙с2j +…+аin ∙сnj

С другой стороны из (2) получаем что bij= сij ∙λj => выполнится равенство: аi1 ∙с1j + аi2 ∙с2j +…+аin ∙сnj= сij ∙λj

Итак j-столбец матрицы С является собственным вектором столбцом матрицы А с собственным числом

Теорема: для любой действительной квадратичной формы существуют ортогональные преобразования приводящие её к каноническому виду.

Теорема: для любой действительной симметричной матрицы А существует такая ортогональная матрица Т, что Т-1∙А∙Т – является диагональной матрицей.

Доказательство:

А – действительная симметричная матрица порядка n.

f(x1,…,xn) – квадратичная форма матрицы А, тогда по предыдущей теореме существует ортогональное преобразование приводящее форму к каноническому виду. Тогда обозначив матрицу этого преобразования как Т, получаем ТТ∙А∙Т=D, где D – дополнительная матрица. Так как матрица Т-матрица ортогонального преобразования, то Т-1= ТТ и подставив в предыдущее получаем: Т-1∙А∙Т=D.

С: Любая действительная симметричная матрица может быть приведена к диагональному виду.

Теорема: если линейное преобразование линейного пространства имеет действительную симметричную матрицу, в некотором ортогональном базисе, то существует ортогональный базис, состоящий из собственных векторов этого преобразования.

Из этих теорем следует правило ортогонального преобразования, приводящее квадратичную форму к каноническому виду:

1. Записать матрицу данной квадратичной формы. Найти найти её собственное значение и n-парно-ортогональных собственных векторов. Пронормировать их.

2. Составить матрицу из ортонормированных собственных векторов столбцов.

3. Записать искомое ортогональное преобразование с помощью исходных матриц

Пример:

Найти ортогональное преобразование приводящее к каноническому виду, квадратичную форму.

1) a11=11, a12= a21=-16/2=8, a22=-1

2) чтобы найти собственное значение |A-λE|=0

D=400

λ1=-5; λ2=15

3) (для каждого собственного значения найти собственный вектор)

λ1=-5

-8у1+4у2=0

2=2у1 , (у1; 2у1), у1=С => собственный вектор

=>собственный вектор у=

λ2=15

 

 

 

4) Нормируем:

|z|=

 

 

5) См 2п.

6) См 3п. Х=ВУ

Существует 2 метода:

1. Метод Якоби (приведение квадратичной формы к каноническому виду)

Применяют, когда все главные миноры квадратичной формы отличны от 0.

Тогда справедлива формула:

 

f(x1,x2,…,xn)=ХТ∙А∙Х=

2. Метод Лагранжа (приведения квадратичной формы к каноническому виду).

Основная идея метода заключается в последнем дополнении квадратичного 3х члена по каждому аргументу до полного квадрата.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
| Ортогональные матрицы

Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 1272; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.098 сек.