Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Матрица оператора




Теорема 6: Пусть X, Y – два линейных пространства над полем Р,,. Пусть далее (1) – базис X, и базисным векторам каким-то образом поставлены в соответствие векторы (2) – из Y. Тогда.

Доказательство: Предположим, что искомый оператор А существует, пусть, тогда единственным образом разложим по базису:

(1)

(2)

Правая часть равенства (2) однозначно определяется вектором и образами базисных векторов. Определим искомый оператор так: пусть дано (1). Положим равное (2). Очевидно, что.

Пусть в линейном пространстве X задан базис, а в Y –, а также задан линейный оператор.

Подействуем оператором А на базисные векторы и найдем разложение образов этих базисных векторов в виде линейной комбинации базисных векторов пространства Y,т.е.

 

Матрица называется матрицей линейного оператора А в выбранных базисах линейных пространств X и Y.

Пусть вектор, а вектор. Тогда эти векторы можно разложить по соответствующим базисам:, (1).

 

Сравнивая правую часть этого равенства с разложением (1), получим:

.

(2), (2')

Формулы (2) дают возможность по известным координатам вектора и матрице оператора вычислить координаты вектора, а также обратно, зная координаты вектора и матрицу оператора, решив систему линейных уравнений (2), можно найти координаты вектора. Соотношение (2) устанавливает связь между линейными операторами и системами линейных алгебраических уравнений, в частности, ранг матрицы оператора совпадает с рангом оператора, а размерность ядра совпадает с числом фундаментальных решений приведенной однородной системы уравнений, соответствующей системе (2).

Библиография:

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М.: Физико-математическая литература, 2000, 368 с.

 

Лекция №15 (II семестр)

Тема: Матрица преобразования координат и её невырожденность. Связь между матрицами одного и того же оператора в разных базисах.

Содержание:

Теорема 7: Пусть. Между всеми линейными операторамии всеми прямоугольными матрицами видасуществует биективное соответствие.

Доказательство: Уже показано, что каждый оператор А из множества при фиксированных базисах в линейных пространствах X и Y определяет некоторую матрицу.

Осталось показать, что каждой матрице вида соответствует линейный оператор, и притом только один. Возьмем произвольную матрицу вида. При фиксированных базисах соотношения (2) или (2') ставят в соответствие каждому вектору некоторый вектор. Легко понять, что это соответствие является линейным оператором.

,.

Рассмотрим векторы:

 

 

 

 

 

Таким образом, мы показали, что так введенное отображение является линейным оператором, действующим из X в Y. Найдем матрицу этого оператора:

 

....................................................................

 

Мы видим, что матрица этого оператора совпадает с матрицей. Т.е., любая матрица вида является матрицей некоторого линейного оператора, действующего из X в Y.

Ясно, что если операторы А и В различны, то различны и соответствующие матрицы.

 

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 430; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.01 сек.