КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Теорема : Основная теорема алгебры
Поле C алгебраически замкнуто, т.е., другими словами, каждый многочлен с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень. Следствие: Любой линейный оператор, действующий в комплексном линейном пространстве, имеет хотя бы один собственный вектор. Доказательство: По основной теореме алгебры, оператор А имеет хотя бы одно собственное значение l, откуда и следует утверждение следствия. Библиография: 1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с. 2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с. 3.Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М.: Физико-математическая литература, 2000, 368 с.
Лекция №20 (II семестр) Тема: Инвариантные подпространства. Операторный многочлен. Приведение матрицы оператора к треугольной форме. Содержание: Инвариантное подпространство. Оператор А действует в комплексном линейном пространстве X. Определение: Подпространство L линейного пространства X называется инвариантным по отношению к оператору А, если. Нулевое подпространство и все пространство X являются инвариантными относительно любого линейного оператора, действующего в X. Эти подпространства называются тривиальными инвариантными подпространствами. Примеры: 1. Пусть,. Рассмотрим, L – инвариантно относительно этого оператора. 2. Пусть – ядро оператора, – образ этого оператора,, и – инвариантны относительно А. Эти подпространства (и) тривиальны тогда, и только тогда, когда оператор А либо невырожден, либо нулевой. 3. Для любого оператора, любое его собственное подпространство является инвариантным относительно этого оператора.
Так как в комплексном линейном пространстве любой оператор имеет хотя бы один собственный вектор, то каждый оператор в этом пространстве имеет хотя бы одно не тривиальное инвариантное подпространство. Пусть,,, и пусть L – инвариантное подпространство. Выберем в L базис и дополним его до базиса X векторами. Построим матрицу оператора А в этом базисе:
Пусть линейное пространство представимо в виде прямой суммы и L, M – инвариантны относительно оператора А. В этом случае говорят, что X разложимо в прямую сумму своих инвариантных подпространств. Выберем – базис L, – базис M. В этом случае матрица оператора имеет вид: . Определение: Пусть, L – инвариантно относительно А. Оператор, действующий на инвариантном подпространстве L называется индуцированным оператором, порожденным оператором А, если. Так как имеет по крайней мере, один собственный вектор, и совпадает с оператором А на подпространстве L, то любой линейный оператор в каждом инвариантном подпространстве имеет хотя бы один собственный вектор. Теорема 12: Характеристический многочлен индуцированного оператора, порожденного оператором А на нетривиальном подпространстве, является делителем характеристического многочлена порождающего оператора. Доказательство: Рассмотрим базис линейного пространства X:, где – базис подпространства L. – матрица оператора А в этом базисе. – матрица индуцированного оператора. – характеристический многочлен оператора А – характеристический многочлен оператора.
Определение всех собственных значений оператора А сводится к нахождению всех корней характеристического многочлена этого оператора. Если оператор А имеет нетривиальное инвариантное подпространство, то по теореме 12 задача нахождения собственных значений оператора А сводится к нахождению корней двух многочленов: и, степеней меньших, чем степень характеристического уравнения оператора А.
Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 641; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |