Свойства прямой суммы операторов

Прямая сумма операторов.

Матричная интерпретация теоремы 15.

Приведение матрицы оператора к треугольному виду.

Пусть.

Теорема 15: Для произвольного линейного оператора А, действующего в m- мерном линейном пространстве X, существуют инвариантные относительно этого оператора подпространства, размерностисоответственно, такие, что.

Доказательство: Существование и очевидно:. По теореме 14, в существует инвариантное относительно оператора А подпространство. Рассмотрим оператор, индуцированный оператором А на подпространство, и к этому оператору опять применим теорему 14, в соответствии с которой этот оператор обладает инвариантным подпространством размерности. Аналогично доказывается существование.... Теорема доказана.

Построим базис линейного пространства X следующим образом: – произвольный ненулевой вектор подпространства L (), – любой вектор из,,...

Построим матрицу оператора в этом базисе:

Матрица называется правой треугольной матрицей.

Следствие: Любая квадратная матрица подобна правой треугольной матрице.

Доказательство: Пусть – произвольная квадрантная матрица вида. Если в пространстве X зафиксирован базис, то матрица является матрицей некоторого линейного оператора А, действующего из X в X. По доказанному выше, в линейном пространстве X существует базис, для которого матрицей оператора А является правая треугольная матрица. и – матрицы одного и того же оператора в разных базисах, которые, как известно, подобны.

Лемма: Если оператор А в некотором базисе имеет треугольную матрицу, то диагональные элементы матрицы совпадают с собственными значениями оператора А с учетом их кратности.

Доказательство:

Пусть. Пусть линейные операторы, а.

Тогда существует единственное разложение:.

Отображение А, определяемое равенством называется прямой суммой операторов В и С. Если одно из подпространств L или М – тривиально, то и прямая сумма в этом случае называется тривиальной.

1. Отображение А, является линейным оператором.

Доказательство: Пусть, и пусть a,b – любые числа.

Тогда:

2. Единственность представления оператора в виде прямой суммы.

, то есть, – индуцированный оператор А на L.

, то есть, – индуцированный оператор А на М.

3. Пусть А – произвольный оператор, действующий в линейном пространстве X. Если и подпространства L и М – инвариантны относительно оператора А, то оператор А всегда разложим в прямую сумму.

В этом случае характеристический многочлен оператора А равен произведению характеристических многочленов операторов и, индуцированных оператором А на подпространства L и М соответственно.

Библиография:

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

3.Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М.: Физико-математическая литература, 2000, 368 с.

Лекция №22 (II семестр)

Тема: Теорема о существовании и единственности разложения оператора в прямую сумму операторов с заданными характеристическими многочленами. Корневые подпространства. Теорема Гамильтона-Кэли.

Содержание:

Теорема: С помощью любого операторного многочленаможно осуществить разложение оператора А в прямую сумму.

Доказательство: Рассмотрим последовательность операторов

Этим операторам соответствуют ядра.

1. Покажем сначала, что если существует, такое, что

.

Доказательство:

Пусть

2. Рассмотрим для операторов их образы, т.е. – область значений оператора, мы знаем, что.

Пусть q – наименьшее целое положительное число, такое, что, ему соответствует образ,. В самом деле, если вектор

Каждый из корней характеристического многочлена оператора, индуцированного оператором А на подпространство является корнем многочлена. Ни один из корней характеристического многочлена оператора, индуцированного оператором А на подпространство, не является корнем многочлена, в самом деле, нам известно, что все собственные векторы оператора А должны находиться в подпространствах и, при этом в находятся те из них, которые соответствуют собственным значениям, совпадающим с какими-то корнями многочлена, а в находятся те из них, для которых собственные значения не совпадают ни с какими корнями многочлена.

Теорема: Пусть характеристический многочленоператорапредставим в виде произведения двух многочленов:, не имеющих общих корней. Тогда оператор А можно единственным образом разложить в прямую сумму операторов В и С (), так, что оператор В имеет характеристический многочлен, а оператор С –.

Доказательство:

1. Рассмотрим разложение оператора А в прямую сумму, получающуюся с помощью многочлена. Так как произведение характеристических многочленов операторов, определяющее прямую сумму, совпадает с многочленом, то существование такого разложения вытекает из теоремы 16.

2. Пусть, где подпространства N и T инвариантны относительно оператора А и при этом оператор, индуцированный оператором А на подпространство N, имеет в качестве характеристического многочлена, а оператор, индуцированный оператором А на подпространство Т, имеет в качестве характеристического многочлена. Тогда, по теореме 13, для всех достаточно больших k, но отсюда следует, что. Оператор является невырожденным на Т, так как – характеристический многочлен оператора, индуцированного оператором А на T, и и не имеют общих корней, следовательно, множество образов векторов из T по отношению к оператору совпадает с T, но тогда для. Подпространства N и T и и в прямой сумме образуют все пространство X. Мы имеем, что,, и.

Пусть оператор,. Пусть – характеристический многочлен оператора А. Так как все происходит на комплексном линейном пространстве С, то, где – собственные значения (попарно различные),. Рассмотрим многочлены. Они являются делителями характеристического многочлена, и никакая пара из них не имеет общих корней. По теореме 17 существуют инвариантные подпространства относительно оператора А такие, что, при этом размерности,. Характеристический многочлен оператора, индуцированного оператором А на подпространство – это.

Определение: Подпространства называются корневыми подпространствами оператора А, соответствующими собственному значению. Векторы корневого подпространства называются корневыми векторами.

Т.о., оператор А может быть разложен в прямую сумму операторов, индуцированных этим оператором на корневых подпространствах. Корневое подпространство совпадает с ядром оператора при некотором целом положительном q. В действительности, в данном случае можно считать. В самом деле, рассмотрим операторы, где. Пусть – это наименьшее число, для которого ядро оператора совпадает с ядром оператора. Тогда корневое подпространство будет совпадать с ядром оператора, т.к. размерность ядер операторов при монотонно возрастает, а размерность корневого подпространства, то, т.е..

Т.о., корневое подпространство, соответствующее собственному значению кратности совпадает с ядром оператора.

Теорема: (Теорема Гамильтона-Кэли)

Если – характеристический многочлен оператора А, то – нулевой оператор (оператор является корнем своего характеристического многочлена).

Доказательство: Пусть. Так как линейное пространство X представимо в виде прямой суммы корневых подпространств, то вектор единственным образом представим в виде:, где.

так как.

Библиография:

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М.: Физико-математическая литература, 2000, 368 с.

Лекция №23 (II семестр)

Тема: Жорданова форма матрицы.

Содержание:

Дата добавления: 2014-01-05