Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Функціональні відношення

Лекція 3. Відображення і функції

 

У попередній лекції ми розглянули бінарні відношення, які є підмножинами декартового добутку двох множин. Бінарні відношення, які визначені на декартовому квадраті множини, представляють найбільший інтерес через те, що вони володіють деякими важливими властивостями: симетричність, рефлективність, транзитивність тощо. Для відношень, що утворені різними множинами, коли R = A´B, говорити про зазначені вище властивості не має сенсу, тому що перша та друга координати R мають різну природу. Наприклад, відношення “х народився в році y” є підмножиною декартового добутку множини людей та множини років і ставить у відповідність кожній людині рік її народження. Для аналізу подібних відношень вводяться поняття відображення та функції.

 

Означення 3.1 Відношення fÌА´В називається функціональним (або просто функцією), якщо виконується наступне:

"a (a,b)Îf та (a,c)Îf Þ b=c.

Іншими словами, кожному aÎA: (a,b)Îf відповідає один і тільки один елемент bÎB.

Іноді функціональне відношення f також позначають у префіксному записі: b = f(a), де aÎA, bÎB.

Область (множина) визначення функції буде наступна множина:

Dom f == {aÎA | $ bÎB, b = f(a)}.

Область (множина) значень функції буде наступна множина:

Im f == {bÎB | $ aÎA, b = f(a)}.

Очевидно, для функціонального відношення f кожний переріз за будь-яким aÎA містить не більше як один елемент. Якщо a Ï Dom f , то переріз за а – порожній.

Якщо Dom f = А, то функціональне відношення f називається всюди визначеним. Матриця функціонального відношення містить у кожному рядку не більше як один одиничний елемент, а його граф характеризується тим, що з кожної вершини може виходити тільки одна дуга (враховуючи й петлі).

Наприклад, розглянемо множини А = {1,2,3,4} та B = {1, 4, 9, 16, 25}, тоді відношення R = {(1,1), (2,4), (3,9), (4,16)} та Q = {(1,1), (2,4), (3,4), (4,16)} є функціональними. Відношення P = {(1,1), (1,4), (3,9)}, навпаки, не є функціональним.

Розглянемо інший приклад – українсько-англійський словник. Він установлює відповідність між множиною українських та англійських слів. Ця відповідність не є функціональною (оскільки одному українському слову, як правило, ставляться у відповідність декілька англійських слів); крім того, вона практично ніколи не є повністю визначеною: завжди можна знайти українське слово, що не міститься в цьому словнику.

Усяке функціональне відношення можна розглядати як функцію. При цьому перша координата а впорядкованої пари (а,b)Îf є прообразом (аргументом, змінною), а друга b – образом (значенням). Потрібно розрізняти функцію f як множину впорядкованих пар (відношення) і значення функції b = f(a) як другу координату однієї з таких пар.



Слід зазначити, що відношення, обернене до функціонального, загалом не є функціональним. У розглянутому вище прикладі відношення Q є функціональним, але обернене йому відношення Q-1 = {(1,1), (4,2), (4,3), (16,4)} не є функціональним.

Якщо функціональне відношення fÌА´В всюди визначене на А, то його називають відображенням множини А в В і записують f : A ® B. Очевидно, що різниця між відображенням та функцією зводиться до способу означення цих відношень на множині А, причому відображення потрібно розглядати як окремий випадок функції. Більшість математиків не розрізняють поняття відображення і функції.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
| Функціональні відношення

Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 776; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ‚аш ip: 54.198.19.184
Генерация страницы за: 0.116 сек.