Иррациональные числа и их свойства

Существуют отрезки, длина которых не является рациональным числом. Например, диагональ единичного квадрата . Если число непредставимо в виде дроби , то оно иррациональное (то есть нерациональное). Будем обозначать множество иррациональных чисел буквой I.

Произвольные числа – рациональные или иррациональные, называются действительными или вещественными. Множество вещественных чисел будем обозначать буквой R.

, .

Существуют различные способы введения действительных чисел. Остановимся на способе представления числа в виде бесконечных десятичных дробей , – некоторое целое неотрицательное число, , .

Дробь – конечная.

Дробь – бесконечная, если .

Разложение рационального числа имеет вид:

– бесконечная десятичная периодическая дробь.

J Пример 2.1. ,

,

. J

Кроме периодических десятичных дробей, существуют непериодические дроби, например , – это иррациональные числа.

Таким образом, иррациональное число – это произвольная бесконечная непериодическая дробь.

♦ Предложение 2.1. Любое действительное число можно приблизить с любой степенью точности рациональным числом.

Доказательство. Пусть представлено в виде бесконечной десятичной дроби. Тогда в силу операции упорядочения вещественных чисел справедливо неравенство для любого номера n. Ясно, что . Покажем, что для найдется n такое, что выполняется неравенство . В силу аксиомы Архимеда для , то есть найдется лишь конечное число натуральных чисел таких, что или . ■

Таким образом, справедлива

♦ Лемма 2.1. Для любого вещественного числа a и для любого наперёд взятого положительного рационального числа ε найдутся два рациональных числа и такие, что , причём .

♦ Лемма 2.2. Каковы бы ни были два вещественных числа a и b такие, что a>b, найдётся рациональное число , заключённое между ними, то есть такое, что (а следовательно, найдётся и бесконечное множество различных рациональных чисел, заключённых между a и b).

Доказательство. 1) Пусть , , , , . Пусть , , …, , , причём все десятичные знаки при n > k не могут быть равны нулю (иначе число a будет представлено в виде ). Пусть на некотором месте n = p > k стоит первый ненулевой десятичный знак , то есть . Тогда рациональное число удовлетворяет неравенствам .

2) Пусть , . Рассматривая модули чисел, воспользуемся доказательством пункта 1).

3) Если , , то . ■

♦ Лемма 2.3. Пусть . Если для найдутся , , , то .

Доказательство. Предположим, что , скажем, . Тогда в силу леммы 2.2 найдутся рациональные и : . Пусть и - какие угодно рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам , . Тогда Следовательно, , что противоречит условию . То есть предположение неверно и . ■

2.3. Счётность множеств R и Q.

♦ Теорема 2.1. Множество рациональных чисел Q счётно.

Доказательство. Рассмотрим . Назовем натуральное число высотой рационального числа . Пусть A_n – множество всех рациональных чисел с высотой n. Множества A_n состоят из конечного числа элементов (рациональных чисел), например:

, , , , ….

Отсюда .

Перенумеруем числа в слева направо, опуская те, которые уже пронумеровали. Таким образом, получим последовательность: , , , , , …. Т.к. рациональных положительных чисел бесконечно много, мы используем все натуральные числа. Значит – счётно.

Очевидно, что – счётно. – счётно. ■

♦ Теорема 2.2. Множество действительных чисел R несчётно.

Доказательство. Докажем, что множество действительных чисел образует несчётное множество. Допустим, что – счётное множество, то есть все точки можно пронумеровать:

Это предположение противоречиво. В самом деле, построим вещественное число , где цифры и .

Ясно, что , однако x не совпадает ни с одним из , т.к. иначе , что не имеет места. Таким образом, – несчётно, а значит, и множество R тоже несчётно. ■

Дата добавления: 2014-01-05