Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Загрузка...

Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Базис системы векторов. Переход от одного базиса к другому




Базисом системы векторов называется такая ее подсистема, которая:

1) является линейно-независимой;

2) любой вектор из системы векторов можно выразить как линейную комбинацию этой подсистемы векторов.

Базис в n-мерном пространстве содержит n линейно-независимых векторов. В пространстве (мы рассматриваем арифметические пространства) существует бесчисленное множество базисов. Одним из базисов пространства является система единичных векторов , у которых все компоненты, кроме i-той, равны нулю, а i-я компонента равна единице. Любой вектор пространства можно представить как линейную комбинацию векторов базиса. Например, если кроме системы единичных векторов:

задан вектор , то данный вектор можно представить в виде:

 

Коэффициентами разложения данного вектора по векторам базиса являются его координаты. В каждом базисе вектору соответствует строка его координат. Это разложение вектора по данному базису является единственным. Например, если дан базис в n-мерном пространстве в виде системы векторов , отличный от базиса единичных векторов, то разложение вектора в данном базисе будет иным:

,

где - координаты вектора в новом базисе.

Рассмотрим задачу перехода от одного базиса к другому.

Пусть в n-мерном пространстве дан базис в виде системы единичных векторов и новый базис в виде системы векторов:

, где .

Задан также вектор в старом базисе, т.е. в базисе из единичных векторов. Требуется перейти из старого базиса к новому, т.е. найти координаты единичных векторов, а также координаты вектора в новом базисе.

Этот переход можно осуществить при помощи метода Жордана-Гаусса. Для этого надо составить матрицу, в которой записать сначала векторы старого базиса, затем нового базиса и, наконец, вектор . Координаты каждого вектора будут записаны в столбце. В результате получим матрицу:

.

Умножая каждую часть матрицы на обратную матрицу слева, будем иметь:

,

или ,

т.е. в первой части получим в каждом столбце координаты соответствующего вектора старого базиса в новом базисе, во второй - новый базис в виде единичных векторов, в третьей - координаты вектора в новом базисе.

Таким образом, наша задача сводится к тому, чтобы путем преобразований методом Жордана-Гаусса получить во второй части единичную матрицу. Если это нельзя сделать, то система векторов является линейно-зависимой и, следовательно, не образует базис.

Пример 4.9. Даны базисы в виде системы векторов , , и системы векторов , и . Выразить векторы , , через векторы , и . Найти во втором базисе координаты вектора , заданного в первом базисе.

Выразим векторы через :



 

Таблица 4.2

Базис Примечание
1 строка
-5 2 строка
-1 3 строка
1/2 3/2 1/2 4стр.=1стр. : 2
-2 -5 -5 5стр.=2стр.+4стр.· (-4)
-1 6стр. = 3стр.
-1/10 3/10 1/2 -3/2 7стр.=4стр.+8стр.·(-3/2)
2/5 -1/5 8стр.=5стр. : (-5)
-4/5 2/5 -1 9стр.=6стр.+8стр.· (-2)
-1/2 1/2 1/2 10стр.=7стр.+12стр.·(-1/2)
2/5 -1/5 11стр.=8стр.
4/5 -2/5 -1 -3 12стр.=9стр. : (-1)

 

Решение. Все вычисления будем производить в таблице 4.2, в столбцах которой запишем координаты данных векторов в базисе , , .

В таблице слева оставим одну графу для записи базисных векторов. Каждым шагом метода Жордана-Гаусса заменяем один базисный вектор другим. Все произведенные действия над строками указаны в примечаниях таблицы. Отметим, что необязательно первый шаг начинать с введения в базис вектора . Удобнее ввести в базис сначала вектор , так как он имеет в первой строке «1». В последнем шаге записаны конечные результаты. Так, вектор в новом базисе имеет координаты ; т.е. .

Аналогично запишем и разложения других единичных векторов по векторам нового базиса:

, .

Вектор в новом базисе имеет координаты (0, 1, -3).

 

Пример 4.10. Даны векторы (1; 2; 3), (-1; 0; 3), (2; 1; -1) и (3; 2; 2) в некотором базисе. Показать, что векторы , и образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение.

Векторы образуют базис, если они линейно независимы, другими словами, если уравнения, входящие в систему:

линейно независимы.

Тогда .

Это условие выполняется, если определитель матрицы системы отличен от нуля.

Для решения этой системы воспользуемся методом Крамера.

 

D1 =

;

D2 =

 

D3 =

Итого, координаты вектора в базисе , , : { -1/4, 7/4, 5/2}.





Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 1797; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ip: 54.158.7.152
Генерация страницы за: 0.01 сек.