КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Конечноразностные интерполяционные формулы
Пусть функция у = f(x) задана на сетке равноотстоящих узлов xi = x0 + ih, где i = 0, 1,..., n, и для нее построена таблица конечных разностей. В соответствии с тем, что было сказано о направлении модификации интерполяционной формулы Лагранжа в начале предыдущего параграфа, будем строить интерполяционный многочлен Рn(x) в форме Pn(x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)(x – x1) +... + + an(x – x0)(x – x1)...(x – xn–1). (14) Его n + l коэффициент a0, a1,..., an будем находить последовательно из n + 1 интерполяционных равенств Pn(xi) = yi, i = 0, 1, …, n. А именно, полагая i = 0, т. е. x = x0, в (14) имеем Pn(x0) = a0, а по условию интерполяции Pn(x0) = y0, следовательно, a0 = y0. Далее, при i = 1 аналогично получаем равенство a0 + a1(х1 – х0) = y1, в которое подставляем уже найденное значение a0 = y0. Разрешая это равенство относительно а1 и используя обозначение конечной разности, получаем . Следующий шаг, при i = 2, дает: a0 + a1(x2 – x0) + a2(x2 – x0)(x2 – x1) = y2 Û Û (см. (13) при k = 2). Полной индукцией можно показать справедливость выражения "k Î {1, 2, …, n}. (15) Подставляя найденные коэффициенты a0, a1,..., an в (14), получаем многочлен , (16) который называют первым интерполяционным многочленом Ньютона. Учитывая, что каждое слагаемое многочлена (16), начиная со второго, содержит множитель x – x0, естественно предположить, что этот многочлен наиболее приспособлен для интерполирования в окрестности узла x0 (при x, близких к x0, f(x)» y0). Будем называть узел x0 базовым для многочлена (16), и упростим (16) введением новой переменной q равенством , или (что то же) равенством x = x0 + qh. Так как при любых i Î {0, 1, …, n} x – xi = x0 + qh – x0 – ih = h(q – i), то в результате подстановки этих разностей в (16) приходим к первой интерполяционной формуле Ньютона в виде , (17)
где обозначение Pn(x0 + qh) указывает не только на n-ю степень многочлена, но и на базовый узел x0 и связь переменных x и q. Первая формула Ньютона (17) обычно применяется при значениях |q| < 1, а именно, для интерполирования вперед, (при x Î (x0; x1), т. е. при q Î (0; 1)) и экстраполирования назад (при x < x0, т. е. при q < 0). Так как реально степени интерполяционных многочленов бывают не так велики, в то время как таблицы значений функций достаточно обширны, и так как в реальной числовой таблице никаких индексов — номеров узлов нет, то за базовый для формулы (17) узел x0 можно принимать узел, ближайший к заданной фиксированной точке x, если за ним имеется достаточное число узлов для построения необходимых для (17) разностей. Поскольку в первой формуле Ньютона используются нисходящие диагонали таблицы конечных разностей, то такое смещение узла, принимаемого за базовый, в конце таблицы будет неприемлемо. Учет этого обстоятельства приводит к потребности в симметричной, в определенном смысле, для (17) формулы, которая была бы пригодной для интерполирования в конце таблицы. Для этого, в отличие от (14), форма интерполяционного многочлена Pn(x) берется такой, которая предусматривает поочередное подключение узлов в обратном порядке: сначала последний, потом предпоследний и т. д., т. е. Pn(x) = a0 + a1(x – xn) + a2(x – xn)(x – xn–1) + … + + an(x – xn)(x – xn–1)...(x – x1). Коэффициенты a0, a1,..., an этого многочлена находятся аналогично тому, как они находились для многочлена (14), только здесь подстановка узловых точек вместо x и рассмотрение интерполяционных равенств производится тоже в обратном порядке. Полагая x = xn, x = xn–1,..., имеем: Рn(xn) = a0 = уn, , и т. д. В общем случае "k Î {1, 2, …, n}. Таким образом, получаем второй интерполяционный многочлен Ньютона
, (18) в котором базовым является узел xn и коэффициенты которого определяются конечными разностями, расположенными на восходящей от уn диагонали.
Положим в (18) x = xn + qh, иначе, введем новую переменную и преобразуем к ней входящие в (18) разности: x – xi = xn + qh – x0 – ih = x0 + nh + qh – x0 – ih = h(q + n – h). В результате приходим ко второй интерполяционной формуле Ньютона вида . (19) Ее также целесообразно использовать при значениях |q| < 1, т. е. в окрестностях узла xn для интерполирования назад (при q Î (–1; 0)) и экстраполирования вперед (при q > 0).
Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 583; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |