Признак Даламбера

Теорема (признак Даламбера)

Пусть положительный ряд таков, что существует конечный предел

(6)

Тогда при ряд сходится,

при ряд расходится.

Примеры.

1. Рассмотрим ряд .

Для данного ряда подобрать вспомогательный ряд затруднительно.

Применим признак Даламбера.

Здесь ,

Следовательно, ряд сходится по признаку Даламбера.

2. Рассмотрим ряд .

Здесь ,

Ряд расходится.

3. Рассмотрим ряд .

Следовательно, ряд сходится.

Замечание. По необходимому признаку имеем

4. Рассмотрим ряд .

Здесь ,

Ряд сходится.

Замечание. Если

,

то признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда.

Пример.

Рассмотрим ряд Дирихле .

Для него

для всех .

В то же время ряд Дирихле сходится при и расходится при .

Замечание. Если , то ряд (1) расходится.

Пример. Исследуем ряд .

Для него

Ряд расходится.

Дата добавления: 2014-01-05