Интегральный признак Коши

Определение. Пусть ряд и функция , заданная при , связаны так, что

, (8)

тогда называется производящей функцией для ряда .

Пример. Для ряда производящей является функция

.

Пусть для существует интеграл

(9)

Определение. Предел интеграла (9) при называется несобственным интегралом и обозначается

.

Если предел конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся. Если предел бесконечен или не существует, то расходящимся.

Таким образом, можно записать

.

Теорема. (Интегральный признак Коши)

Пусть производящая функция непрерывна, положительна и монотонно убывает. Тогда ряд и несобственный интеграл

(10)

сходятся и расходятся одновременно.

Замечание. Теорема сохраняет силу, если условия выполняются при .

Для ряда Дирихле производящая функция –

.

Определим сходимость рядов Дирихле с помощью интегрального признака Коши.

Для гармонического ряда () имеем

Значит несобственный интеграл и, следовательно, гармонический ряд расходится.

Для

Значит несобственный интеграл и, следовательно, ряд Дирихле сходится.

Для

Значит несобственный интеграл и, следовательно, ряд Дирихле расходится.

Дата добавления: 2014-01-05