Ограниченные и неограниченные последовательности

Совокупность всех элементов произвольной последовательности образует некоторое числовое множество, которое может быть ограничено сверху (снизу) и для которого справедливы определения, аналогичные введённым для вещественных чисел.

Определение 8.3. Последовательность называется ограниченной сверху, если ; М- верхняя грань.

Определение 8.4. Последовательность называется ограниченной снизу, если ; m - нижняя грань.

Определение 8.5. Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу, то есть если существуют два вещественных числа М и m такие, что каждый элемент последовательности удовлетворяет неравенствам:

, (8.3)

m и M – нижняя и верхняя грани .

Неравенства (8.3) называют условием ограниченности последовательности .

Например, последовательность ограниченная, а неограниченная.

♦ Утверждение 8.1. является ограниченной .

Доказательство. Выберем . Согласно определению 8.5 последовательность будет ограниченной. ■

Определение 8.6. Последовательность называется неограниченной, если для любого положительного (сколь угодно большого) вещественного числа А найдётся хотя бы один элемент последовательности x_n, удовлетворяющий неравенству: .

Например, последовательность 1, 2, 1, 4, …, 1, 2 n, …- неограниченная, т.к. ограничена только снизу.

Дата добавления: 2014-01-05