Переход от уравнений Максвелла в интегральной форме к уравнениям Максвелла в дифференциальной форме

Используя теорему Стокса, перепишем интеграл в левой части уравнения (1.1) в виде

и аналогично преобразуем интеграл в левой части уравнения (1.2).

В результате первые два уравнения Максвелла примут вид

(1.5), . (1.6)

Учтем теперь, что соотношения (1.5) и (1.6) должны выполняться независимо от формы поверхности S. Поэтому можно сделать предельный переход S ®0, предположить, что при малых S подынтегральные функции от S не зависят и вынести их за знак интеграла. В результате получим

Таким образом, получили 1-е и 2-е УМ в дифференциальной форме.

Теперь перейдем от интегральной формы 3-го и 4-го УМ к дифференциальной.

Согласно теореме Гаусса-Остроградского

.

Кроме того, представим заряд q ^e интегралом от объемной плотности заряда

.

Подставим полученные соотношения в (1.3) и (1.4)

Как и выше, сделаем предельный переход V ®0, вынесем подынтегральные функции за знак интеграла, в результате получим

Уравнения (1.7), (1.8), (1.11), (1.12) – это УМ в дифференциальной форме.

Дата добавления: 2014-01-05