Метод наименьших квадратов. Технология регрессионного анализа

Технология регрессионного анализа.

Обычно все экономические данные (и аргументы и функции) представлены в виде таблиц. Пользоваться ими не удобно, т.к. нельзя определить значения функции для аргументов х, выходящих за рамки таблицы (при больших или меньших х). Поэтому таблицу заменяют уравнениями, наиболее точно описывающих значения величин в таблице. По уравнению можно вычислить любое значение функции при любом значении аргумента х, т.е. сделать прогноз изменения функции (напр., узнать курс евро в 2015 году по имеющейся статистике - таблице курсов за 2000-2010 гг.)

Для замены таблицы формулой применяют регрессионный анализ, основным методом которого является метод наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов (МНК) используется для представления.в виде формулы данных, заданных таблично.

Таблица 1

x	x	x	...	x
f(x)	y	y	...	y

Приближение по МНК формулируется следующим образом:

Для функции f(x), заданной табл. 1, найти приближающую функцию F(x) так, чтобы сумма квадратов

= min,

где f и F- значения функции f(x) и приближающей функции F(x) при одних и тех же значениях х.

Разность функций берётся в квадрате, чтобы её знак был всегда положительным.

f(x),

F(x) f(x) F(x)

х

Рис. 1 Точки функции f(x) из таблицы и приближающая функция F(x)

В качестве приближающих функций F(x) в зависимости от характера точечного графика (рис.1.) используются следующие основные функции:

1. F(x) = ах+b, 2. F(x) = ax+bx+c, 3. F(x) = + b,

параметры а, b параметры a, b, c, m параметры а, b

4. F(x) = a e, 5. F(x) = a lnx + b

параметры a, m параметры а, b

и другие функции.

a

Для приближающей функции с 2-мя параметрами F(x,a,b) сумма квадратов разностей f(x) и F(x) имеет вид:

Ф(a,b),

условие минимума примет вид системы уравнений частных производных по параметрам a, b:

;

(4) ;

то есть

(5)

Коэффициент 2 не равен 0, поэтому его можно убрать из системы уравнений (5).

Пример. Определить зависимость F=F(Х) для данных, заданных таблицей 2:

Таблица 2

Х, шт.
F, $			8,67			5,33	4,86	4,5	4,22

Точечный график,построенный по табл. 2, показывает, что приближающей функцией для него является зависимость под номером №3:

F(x) = + b C

Нужно определить параметры a и b.

q

Согласно (5)

или

(22 -- b)+ (12 - - b) +(8,67 -- b) +...

+(4,22 --b) =0;

(22 -- b) 1 + (12 - - b) 1+(8,67 -- b) 1+...

+(4,22 - -b) 1=0

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными. После раскрытия скобок, преобразований и решения этой системы уравнений получим, что коэффициент а = 100, коэффициент b = 2

т.е. F(X) = + 2,

т.е. таблицу 2 можно заменить этим уравнением.

Дата добавления: 2014-01-05