Система уравнений для расчета параметров гиперболы

Система уравнений для расчета параметров квадратической регрессии.

Линеаризация первого класса функций

Первый класс функций обычно сводится к уравнениям множественной линейной регрессии путем замены переменных.

Рассмотрим, например, следующее уравнение регрессии:

y=a₀ + a₁x + a₂x² (уравнение парной квадратической регрессии или просто параболы).

Обозначим x=x₁; x²=x₂

Получим уравнение y=a₀ + a₁x₁+ a₂x₂, для которого ранее уже рассматривалась система нормальных уравнений. Построим эту систему (6.1), а затем выполним обратную замену переменных.

Уравнение двухфакторной линейной регрессии имеет вид:

y=a₀ + a₁x₁+ a₂x₂

Система нормальных уравнений для расчета его параметров уже рассматривалась на предыдущих лекциях:

a₀n+ a₁ ∑x₁+a₂ ∑x₂=∑y

(a₀∑x₁ + a₁ ∑x²₁+a₂ ∑x₁x₂=∑yx₁ (6.1)

a₀∑x₂+ a₁ ∑x₁x₂+a₂∑x₂² =∑yx₂

Значения переменных в системе (6.1) снова заменим: x₁ на x, а x₂ на x².

Получим другую систему (6.2), которая непосредственно может использоваться уже для расчета параметров квадратического уравнения регрессии y=a₀ + a₁x + a₂x².

Система (6.2) имеет следующий вид:

a₀n+ a₁ ∑x+a₂ ∑x²=∑y

a₀∑x_n + a₁ ∑x²+a₂ ∑x³=∑yx (6.2)

a₀∑x²+ a₁ ∑x³+a₂∑x⁴ =∑yx²

Точно также приводится к линейному виду полином любой степени.

Построим теперь систему нормальных уравнений для расчета параметров гиперболы y= a₀ + a₁/x

Заменяя в уравнении y= a₀ + a₁/x величину 1/x на z,получаем простейшее линейное уравнение парной регрессии y=a₀+a₁z, для которого также уже рассматривалась система нормальных уравнений:

a₀+a₁Σz=Σy

a₀Σz+a₂Σz²=Σyz

Выполним обратную замену переменных, подставляя вместо z переменную 1/x. Получим следующую систему

na₀+a₁∑1/x=∑y

a₀∑1/x+a₁∑1/x²=∑y/x (6.3)

Уравнение регрессии в виде гиперболы часто используется для описания различных экономических процессов, например, если a₁>0, то классическим примером такой зависимости будет так называемая кривая Филлипса (см. рис.6.1).

В конце 50-х ХХ в. английский экономист Филлипс установил (на основе статистики за 100 лет) такую (обратную) зависимость между уровнем безработицы и приростом средней заработной платы.

Существуют и другие типы кривых, которые описываются уравнением гиперболы, например, кривая, которая изображена на другом графике (рис. 6.2).

У этой гиперболы a₁<0. Такая кривая известна в экономической теории под названием «Кривая Энгеля».

Рис. 6.1. Кривая Филлипса

Рис. 6.2 Кривая Энгеля

Подобной зависимостью хорошо описывается взаимосвязь между долей расходов на покупку продуктов питания в общей сумме потребительских расходов и величиной доходов населения. С ростом уровня доходов семьи доля расходов на покупку продуктов питания уменьшается, а доля расходов на покупку товаров длительного пользования наоборот растет.

Такую закономерность вывел в 1857 году немецкий статистик Э. Энгель.

Дата добавления: 2014-01-05