Деление. Опр. Числа и называются комплексно – сопряженными

Умножение

Вычитание

Сложение

Опр. Числа и называются комплексно – сопряженными.

Конспект лекции.

Алгебраическая форма комплексного числа.

.

Опр. Комплексным числом z называется выражение вида, где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:

При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а b - мнимой частью (b = Im z).

Замечание: Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым (напр, z=5i),

если b = Im z = 0, то число z будет действительным (напр, z=10).

Например. и

Опр. Два комплексных числа и называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:

Опр. Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Опр. Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число, определяемое равенством:.

Свойства суммы: 1) переместительное;

2) сочетательное.

Пример. z₁=5+2i и z₂=1-4i. z₁+z₂=(5+1)+(2-4)i=6-2i

Опр. Разностью двух комплексных чисел z₁ и z₂ называется такое комплексное число z, которое будучи сложенным с z₂, дает число z₁, т.е. z=z₁-z₂, если z+z₂=z₁.

Если и, то.

Пример. z₁=5+2i и z₂=1-4i. z₁-z₂=(5-1)+(2-(-4))i=4-6i

Найдем произведение 2-х комплексных чисел.

Опр. Произведением комплексных чисел и называется комплексное число, определяемое равенством:.

Отсюда следует важнейшее соотношение:

Действительно:

Пример. z₁=5+2i и z₂=1-4i. z₁z₂=(5∙1-2∙(-4))+(5∙(-4)+2∙1)i=13-18i

Замечание:

Свойства умножения:

1) переместительное: z₁z₂=z₂z₁;

2) сочетательное: (z₁z₂)z₃=z₁(z₂z₃);

3) распределительное: z₁(z₂+z₃)=z₁z₂+z₁z₃.

Опр. Частным двух комплексных чисел z₁ и называется комплексное число z, которое, будучи умноженным на z₂, дает число z₁, т.е., если.

Если и, то

Пример. z₁=5+2i и z₂=1-4i..

На практике частное двух комплексных чисел находят путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю («избавляются от мнимости в знаменателе»).

Пример.

z₁=5+2i и z₂=1-4i..

Геометрическое представление комплексных чисел.

Любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой. Комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. M(a;b), где a=Re z, b=Im z. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. При этом ось абсцисс называется действительной осью, а ось ординат - мнимой осью.

Комплексное число z=a+bi можно задавать с помощью радиус-вектора. Длина вектора, задающего комплексное число z, называется модулем этого числа и обозначается |z| или r. Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором, задающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа, обозначается Arg z или φ.

Аргумент комплексного числа z=0 не определен. Аргумент комплексного числа z≠0 – величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2πk (k=0, -1, 1, …): Arg z=arg z+2πk, argz – главное значение аргумента, заключенное в промежутке (-π;π], т.е. –π<arg z≤π.

Тригонометрическая форма комплексного числа.

Из геометрических соображений видно, что. Тогда комплексное число можно представить в виде:

Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

При этом

Замечание: комплексно–сопряженные числа имеют одинаковые модули и противоположные аргументы.

Действия над тригонометрическими числами в комплексной форме.

Дата добавления: 2014-01-05