Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Исследование функций и построение графиков




Признак монотонности функции

ТЕОРЕМА. Если функция f (x) дифференцируема и f'(x) ≥ 0 (f'(x) ≤ 0 ) на интервале (а, b), то она не убывает (не возрас­тает) на этом интервале.

При f'(x) > 0 (f '(x) < 0) имеем признак строгой моно­тонности, т.е. функция возрастает (убывает).

Если углы наклона касатель­ных (рис.1)на каком-то интервале являются острыми, то функция на этом интервале возрастает: tg φ > 0; при тупом угле наклона касательной функция убывает и tg φ < 0.

 

Рис.1

 

Точки локального экстремума

Определение. Точка x0 называется точкой локального мак­симума (минимума) функции f (x), если для любого х ≠ x0 в не­которой окрестности точки x0 выполнено неравенство f(x0) > f(х) (f (x0) < f(x)).

Локальный минимум и локальный максимум объединены общим названием локальный экстремум.

ТЕОРЕМА 1 (необходимое условие существования локаль­ного экстремума). Если функция f(x) дифференцируема в точке x0 и имеет в этой точке локальный экстремум, то f'(x0) = 0.

Геометрический смысл теоремы указан на рис.2: если в точках локальных экстремумов существуют касательные, то они параллельны оси Ох.

Точки, в которых касательные параллельны оси Оx, а зна­чит, производная равна нулю, называют точками возможного экстремума, или стационарными точками. Если x0 точка возможного экстремума, т.е. f '(x0) = 0, то она может ине быть точкой локального экстремума. Например, для функции f (x) = x3 (рис. 3) производная при х = 0 равна нулю, од­нако в этой точке нет локального экстремума. Таким образом, теорема 1 не является достаточным условием существования локального экстремума.

Рис.2

 

 

Рис.3

 

ТЕОРЕМА 2 (достаточное условие существования локаль­ного экстремума). Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x0. Если при переходе через точку x0 слева направо производная f'(x) меняет знак с плю­са на минус (с минуса на плюс), то в точке x0 функция f(x) имеет локальный максимум (минимум). Если же f'(x) не ме­няет знака в δ-окрестности точки x0, то данная функция не имеет локального экстремума в точке x0.

Пример: Найти точки локального экстремума и интервалы монотонности функции f (x) = х 3 — 7,5x 2 + 18 x.

Решение. Сначала находим производную f '(x) = 3 x 2 — 15 x + 18. Приравнивая ее к нулю и решая уравнение х 2 5 х + 6 = 0, находим две точки возможного экстремума: x1 = 2 и x2 = 3. Нетрудно видеть, что f'(x) при переходе через точку x1 =2 меняет знак с "+" на "-", т.е. в этой точке имеет место локальный максимум; аналогично устанавливается, что в точке x2 = 3 функция f' (х) имеет локальный минимум.

Найдем теперь интервалы монотонности данной функции (рис.4). Поскольку f'(x) > 0 при х (-,2), то в силу теоремы о признаке монотонности функция монотонно возрастает на этом интер­вале; (2, 3) является интервалом монотонного убывания f (x) (f'(x) < 0), а на интервале (3, +) функция монотонно воз­растает (f '(x) > 0).

 

Рис.4

 

Выпуклость и точки перегиба графика функции

Определение. График функции y = f(x) имеет на интервале (а, b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если он расположен не ниже (не выше) любой каса­тельной к графику функции на (а, b) (рис.5).

 

Рис.5

 

ТЕОРЕМА. Если функция у = f(х) имеет на интервале (а, b) вторую производную и f"(x) ≥ 0 (f"(x) ≤ 0 ) на (а, b), то график функции имеет на (а, b) выпуклость, направленную вниз (вверх).

Определение. Точка М (x0, f (x0)) называется точкой пере­гиба графика функции у = f(x), если в точке М график имеет касательную и существует такая окрестность точки x0, в пре­делах которой график функции f (x) имеет разные направления выпуклости.

В точке перегиба касательная пересекает график функции, поскольку он переходит с одной стороны касательной на дру­гую, т.е. "перегибается" через нее (рис.6).

 

ТЕОРЕМА 1(необходимое условие существования точки перегиба). Пусть график функции у = f (x) имеет перегиб в точке M(x0, f(x0)) и функция f(x) имеет в точке x0 непре­рывную вторую производную. Тогда

(8)

 

Условие f "(x0) = 0 не всегда означает нали­чие точки перегиба на графике функции у = f (x). Например, график функции у = x 2 n (п > 1) не имеет перегиба в точке (0, 0), хотя при х = 0 вторая производная равна нулю. Потому равенство (8) является только необходимым условием пере­гиба. Точки графика, для которых условие (8) выполнено, называют критическими.

Рис.6

 

ТЕОРЕМА 2 (достаточное условие существования точки пе­региба). Пусть в некоторой окрестности точки x0 вторая производная функции у = f(x) имеет разные знаки слева и справа от x0. Тогда график у = f(x) имеет перегиб в точке М(x0, f(x0)).

 

 

Рис.7

Пример: f (x) = ехр (- x 2).

Решение. Последовательно находим f'(x)= -2 x exp(—x2), f"(x) = 2 exp (-x2)(2 x 2 1). Приравнивая вторую производ­ную к нулю, получаем критические точки х = ± 1 /. Вви­ду зависимости функции от х 2 достаточно исследовать точку x = l/. Нетрудно видеть, что при переходе через эту точку слева направо f"(x) меняет знак с минуса на плюс. Следова­тельно, на левой ветви функции точка M 1(-1 / , e -1/2) явля­ется точкой перегиба графика функции со сменой выпуклости вниз слева на выпуклость вверх справа (рис.8). На правой ветви в точке перегиба М 2(1/, е -1/2) графика функции име­ет место смена выпуклости вверх слева на выпуклость вниз справа.

Рис.8

Асимптоты графика функции

 

Определение. Прямая х = а называется вертикальной асимптотой графика функции у = f (x), если хотя бы одно из предельных значений f(x) или f(x) равно +или -.

Вертикальные асимптоты обычно сопутствуют точкам раз­рыва второго рода. Например, график функции у = е1/x име­ет вертикальную асимптоту х = 0, так как f (x) при х 0+.

Определение. Прямая у = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции у = f (x) при х ±, если f(x) можно представить в виде

 

(9)

 

где α(х) 0 при х ±.

 

(10)

Из равенства (9):

 

(11)

 

Пример: f (x) = .

Решение. Найдем вертикальную асимптоту. Точка x = -1 является точкой разрыва 2-го рода, причем

 

 

Затем находим наклонные асимптоты:

 

 

 

Таким образом, получаем уравнение наклонной асимптоты

 

Схема исследования графика функции

 

1. Найти область определения функции.

2. Определить возможный тип симметрии функции: чет­ность или нечетность функции. Функция f (x) называется чет­ной, если выполнено условие симметрии ее графика относи­тельно оси Оу:

 

(12)

 

Функция f(x) называется нечетной, если выполнено условие симметрии ее графика относительно начала координат O (0, 0):

 

(13)

 

При наличии симметрии достаточно построить график функции на правой координатной полуплоскости и затем ото­бразить его на левую половину: зеркально относительно оси Оу в случае (12) (рис. 9,а) или с центральной симметрией в случае (13) (рис.9,б).

 

Рис.9

 

3. Найти точки пересечения графика функции с осями коор­динат Ох и Оу, т.е. решить соответственно уравнения у = f (0) и f(x) = 0.

4. Найти асимптоты.

5. Найти точки возможного экстремума.

6. Найти критические точки.

7. Исследовать знаки первой и второй производных, опреде­лить участки монотонности функции, направление выпуклос­ти графика, точки экстремума и перегиба.

8. Определить максимум и минимум функции на области ее определения. Если областью определения функции является отрезок [ а, b ], необходимо вычислить значения функции в его концах и сопоставить их с локальными экстремумами.

9. Построить график функции с учетом проведенного ис­следования.

Пример: Исследовать и построить график функции

 

(14)

 

Решение. Действуем по приведенной выше схеме.

1. Область определения функции: х ≠ 0 или х (-, 0) (0, ).

2. Функция (14) является нечетной, так как f (- x) = - f (x).

3. Уравнение f(x) = 0 дает корни х = ±1 (точки пересече­ния с осью Ох). Пересечения с осью Оу нет в силу п.1.

4. Имеется вертикальная асимптота — ось Оу, так как пре­дел f(x) при х 0 бесконечен: f (x) +при х 0-, f(x) -при х 0+.

Определяем наклонную асимптоту:

 

 

Итак, уравнение наклонной асимптоты: у = х.

5. f'(x) = , т.е. производная нигде не равна нулю и точек возможного экстремума нет. В области определения везде f '(x) положительна.

6. f"(x) = — 2 3 критических точек нет.

7. Функция (14) монотонно возрастает на всей области своего определения, так как ее производная всюду положитель­на. В левой координатной полуплоскости выпуклость графика функции направлена вниз (f "(x) > 0), в правой полуплоскости выпуклость направлена вверх (f"(x) < 0).

8. Наибольшего и наименьшего значений функции не су­ществует, поскольку область ее значений неограничена.

9. График функции (14) приведен на рис.10.

 

Рис.10

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 732; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.044 сек.