Спосіб допоміжного проекціювання

Спосіб допоміжного проекціювання полягає у такому перетворенні креслення, коли поданий на епюрі Монжа об’єкт проекціюється із якогось центра на одну із площин проекцій вихідного креслення або на допоміжну площину, яка вибирається певним чином. Центр допоміжного проекціювання може бути власним або невласним. Якщо центр проекціювання вибирають у власній точці, то проекціювання називається центральним, а якщо у невласній, то – паралельним. Якщо паралельні між собою проекціювальні промені не перпендикулярні до допоміжної площини проекцій, то проекціювання називається косокутним, а якщо перпендикулярні, - то прямокутним. Центральне та косокутне допоміжне проекціювання використовують для розв’язування позиційних задач, а прямокутне – для розв’язування метричних задач.

У будь-якому разі центр допоміжного проекціювання та площину проекцій вибирають таким чином, щоб дістати таку проекцію об’єкта, яка містила б у собі відповідь поставленої задачі, або за допомогою цієї проекції можна було б легко знайти відповідь на вихідних проекціях заданого об’єкта.

Центральне допоміжне проекціювання доцільно використовувати для розв’язування позиційних задач, в яких необхідно побудувати точки чи лінії перетину будь-якої лінії, площини або поверхні з пірамідою чи конусом. У такому разі центр проекціювання беруть у вершині піраміди чи конуса, а за площину проекцій може бути взята одна із вихідних площин проекцій чи будь-яка інша площина, що паралельна, перпендикулярна або довільно розташована щодо будь-якої із вихідних площин проекцій. Застосування центрального проекціювання розглянемо на декількох прикладах.

Приклад 6.7. Побудувати точки перетину прямої AB з пірамідою Sdef (рис. 6.25).

Для спрощення креслення на рис. 6.25 показана частина бічної поверхні піраміди, тобто не зафіксована якась основа піраміди, бо вона не впливає на побудову точок перетину прямої з поверхнею піраміди. За центр допоміжного проекціювання візьмемо вершину S піраміди, а за площину допоміжного проекціювання приймемо горизонтально проекціювальну площину Г(Γ₁). Спроекціюємо бічну поверхню піраміди із центра S(S₁, S₂) на площину Г. Ребра піраміди як проекціювальні прямі проекціюються на площину Г у точки D(D₁, D₂), E(E₁, E₂), F(F₁, F₂), а грані у відрізки прямих DE, EF, FD. Трикутник DEF за необхідності може слугувати основою піраміди.

Разом із пірамідою спроекціюємо на площину Г і пряму AB(A₁B₁, A₂B₂). Для цього через точки A i B прямої AB проведемо два проекціювальні промені SA(S₁A₁, S₂A₂) i SB(S₁B₁, S₂B₂), які перетинають площину Г у точках відповідно (₁, ₂) i (₁, ₂). Отже пряма AB спроекціювалась у пряму (₁₁, ₂₂). Ця пряма перетинає трикутник Рис. 6.25

D₂E₂F₂ у точках ₂, ₂. Через ці точки проводимо проекціювальні промені ₂S₂ i ₂S₂, які перетинають проекцію А₂В₂ прямої АВ у точках М₂ і N₂. Це фронтальні проекції шуканих точок перетину прямої АВ з пірамідою. Їхні горизонтальні проекції M₁ і N₁ побудовані за лініями зв’язку M₂M₁ i N₂N₁.

Приклад 6.8. Побудувати точки перетину прямої AB з призматичною поверхнею, cde (рис. 6.26).

Оскільки у призматичної поверхні бічні ребра паралельні між собою, то задачу доцільно розв’язувати паралельним косокутним проекціюванням. Напрямок проекціювання s(s₁, s₂) задаємо паралельно бічним ребрам призматичної поверхні. За площину проекцій беремо довільно розташовану горизонтально проекціювальну площину Г(Г₁). У такому разі бічна поверхня призми спроекціюється у трикутник (₁₁₁, ₂₂₂). Відрізок прямої AB проекціюється у відрізок (₁₁, ₂₂). Точки ₂, ₂ перетину його з трикутником ₂₂₂ – це допоміжні проекції шуканих точок перетину прямої АВ з призматичною поверхнею. Зворотним допоміжним проекціюванням знаходимо фронтальну та горизонтальну проекції точок М та N. Для цього через точки ₂ та ₂ проводимо проекціювальні промені паралельно s₂ до перетину з відрізком А₂В₂. Маємо фронтальні проекції М₂ і N₂ точок M, N, а за лініями зв’язку будуємо і горизонтальні їхні проекції M₁, N₁.

Рис. 6.26

Приклад 6.9. Побудувати точки перетину прямої l з конусом (рис. 6.27).

Із вершини конуса S(S₁, S₂) як із центра проекціювання спроекціюємо пряму l і бічну поверхню конуса на площину його основи. Бічна поверхня конуса спроекціюється у коло основи його. Допоміжна проекція точки 1(1₁, 1₂) перетину прямої l з площиною основи конуса збігається з самою точкою. На прямій l беремо будь-яку точку, наприклад, А(А₁, А₂) і проводимо через неї проекціювальний промінь SA(S₁A₁, S₂A₂) до перетину з площиною основи конуса у точці (₁, ₂). Сполучаємо точки 1₁ і ₁ відрізком прямої. ₁₁ – це горизонтальна проекція допоміжної проекції прямої l. Вона перетинає основу конуса у точках ₁ і ₁. Через ці точки проводимо зворотні проекціювальні промені ₁S₁ та ₁S₁. У перетині цих променів з проекцією l₁ прямої l маємо горизонтальні проекції M₁ та N₁ шуканих точок M i N. Фронтальні проекції M₂ та N₂ будуємо за лініями зв’язку. Прямокутне допоміжне проекціювання застосовується для розв’язування метричних задач, зокрема для визначення натуральних величин відстаней та кутів між геометричними елементами. Його основу складають: задання додаткової площини проекцій, перпендикулярної до напрямку додаткового проекціювання; побудова точки перетину заданого напрямку додаткового проекціювання

із додатковою площиною проекцій; Рис. 6.27

суміщення додаткової площини разом

з побудованою точкою перетину із фронтальною чи горизонтальною площиною проекцій. Розглянемо названі графічні операції на конкретному прикладі. Нехай задано напрямок додаткового проекціювання l(l₁ l₂) (рис. 6.28). Задамо площину Γ(f, h), перпендикулярну до напрямку l (f₂ l₂ , h₁ l₁). Побудуємо точку L перетину прямої l з площиною Г. Для цього через пряму l проведемо горизонтально проекціювальну площину Δ. Побудуємо лінію АВ перетину площин Г і Δ: A=h∩Δ (A₁=h₁∩Δ₁, A₂ h₂), B=f∩Δ (B₁=f₁∩Δ₁, B₂ f₂). Фронтальна проекція l₂ прямої l перетинає відрізок А₂В₂ у точці L₂ – фронтальній проекції точки L перетину прямої l з площиною Г. Горизонтальну проекцію точки L не будуємо, оскільки вона не використовується у подальших побудовах. Тут слід зазначити, що пряма АВ перпендикулярна до сліду h.

Сумістимо площину Г разом із точкою L з площиною проекцій П₂, обертаючи її навколо сліду f(f₁, f₂). Фронтальна проекція траєкторії обертання точки А перпендикулярна до сліду f(f₂) або паралельна l₂. Із точки Г₁₂ як із центра проводимо дугу кола через точку А₁ до Рис. 6.28

перетину у точці ₂ з названою проекцією траєкторії обертання точки А. Через точки Г₁₂ і ₂ проводимо пряму ₂ – зображення суміщеного з площиною П₂ горизонтального сліду площини Г. Лінія ₂В₂ – це зображення суміщеної з площиною П₂ прямої АВ. Саме цій прямій належить точка ₂ – зображення суміщеної з площиною П₂ точки L₂. На рис. 6.24 ₂В_{2 2}, оскільки АВh. Лінія ₂В₂ називається носієм допоміжної проекції ₂ точки L. Зауважимо, що точка N₁ перетину прямих l₁ та ₂В₂ належить бісектрисі кута А₁Г₁₂₂.

Розглянуті на рис. 6.28 побудови можна спростити. Нехай напрямок допоміжного проекціювання задано прямою l(l₁, l₂) (рис. 6.29). Візьмемо довільну точку Г₁₂ і проведемо через неї перпендикулярно до l₁ горизонталь h(h₁, h₂). Позначаємо точку А₁ (А₁=h₁∩ l₁) і знаходимо її фронтальну проекцію А₂. Далі будуємо її суміщене з площиною П₂ зображення ₂, як на рис. 6.28: А₂₂ || l₂, A₁Γ₁₂ = ₂Γ₁₂. Через точки ₂ і Г₁₂ проводимо пряму ₂ – зображення суміщеної з площиною П₂ горизонтального сліду площини Г. Через точку ₂ перпендикулярно до ₂ проводимо зображення носія допоміжної проекції ₂ точки L. Через точку Г₁₂ і точку перетину побудованого носія з проекцією l₁ проводимо бісектрису k кута A₁Γ₁₂₂. Побудована графічна конструкція називається діаграмою. Оскільки для будь-якої конкретної задачі усі носії паралельні між собою, то діаграму можна Рис. 29

будувати у будь-якому вільному місці.

Застосування прямокутного допоміжного проекціювання покажемо на двох прикладах.

Приклад 6.10. Визначити натуральну величину кута між площинами Σ(BCD) та Θ(BCE) (рис. 6.30).

Кут між двома площинами спроекціюється без спотворення, якщо його спроекціювати прямокутно на площину, перпендикулярну до лінії перетину заданих площин. На рис. 6.30 відрізок BC(B₁C₁, B₂C₂) є спільною стороною двох трикутників, якими подано площини Σ та Θ. Отже він є лінією перетину цих площин. Тому спроекціюємо площини Σ і Θ паралельно відрізку BC на площину, перпендикулярну до відрізка BC. Діаграму допоміжного проекціювання побудуємо задля компактності між фронтальною та горизонтальною проекціями заданих площин. Напрямок допоміжного проекціювання вибираємо паралельно відрізку ВС. Справа від горизонтальної проекції заданих площин проводимо пряму k₁, паралельну бісектрисі k діаграми. Через проекції В₁, С₁, D₁ E₁ проводимо горизонтальні проекції проекціювальних променів паралельно відрізку В₁С₁ до перетину з прямою k₁.

Через точки перетину цих променів з прямою k₁ паралельно носієві діаграми проводимо носії відповідних допоміжних проекцій вершин трикутників до перетину з фронтальними проекціями проекціювальних променів у точках ₂=₂, ₂, ₂. Кут ₂₂₂ становить дійсну величину кута між площинами Σ(BCD) та Θ(BCE).

Приклад 6.11. Побудувати спільний перпендикуляр між прямими AB та CD (рис. 6.31). Рис. 6.30

Спільний перпендикуляр між двома мимобіжними прямими можна побудувати, якщо перетворити креслення цих прямих таким чином, щоб одна із них набула проекціювального положення. У цьому разі проекція проекціювальної прямої вироджується у точку. Проекція другої прямої є довільною прямою. Перпендикуляр, проведений від виродженої проекції однієї із прямих до проекції другої прямої, є спільним перпендикуляром між заданими прямими. Спроекціюємо прямі AB і CD на якусь допоміжну площину проекцій, перпендикулярну, наприклад, до прямої AB. Отже напрямок проекціювання паралельний прямій AB. Спочатку на вільному місці зліва від вихідних проекцій прямих побудуємо діаграму допоміжного проекціювання. На рис. 6.31 вона побудована, як на рис. 6.28 і 6.29. Потім справа від заданих прямих проводимо бісектрису k, паралельну бісектрисі k₁ діаграми. Далі через точки A₁, B₁, C₁, D₁ проводимо горизонтальні проекції проекціювальних променів паралельно відрізку A₁B₁ до перетину з бісектрисою k. Маємо точки ₁, ₁, ₁. Через ці точки проводимо прямі – носії допоміжних проекцій ₂=₂, ₂, ₂ точок A, B, C, D паралельно носієві K₂ діаграми. Точки ₂=₂, ₂, ₂ утворилися у перетині вище згаданих носіїв з фронтальними проекціями проекціювальних променів, проведених через точки A₂, B₂, C₂, D₂. Допоміжна проекція ₂ одного із кінців спільного між заданими прямими перпендикуляра, який належить прямій AB, збігається з точкою ₂=₂. Від цієї точки проводимо перпендикуляр до проекції ₂₂ прямої CD. Маємо точку ₂ – допоміжну проекцію другого кінця спільного перпендикуляра, що належить прямій CD.

Зворотним проекціюванням побудуємо проекції точок M і N на вихідних проекціях заданих прямих. Спочатку за допомогою променя ₂N₂ знаходимо проекцію N₂, а потім за лінією зв’язку знаходимо проекцію N₁. Далі на діаграмі допоміжного проекціювання через точку Рис. 6.31

₂ проводимо

паралельно ₂₂ пряму до перетину зі слідом f(f₂) у точці F. Пряма EF(₂F₂) паралельна спільному перпендикуляру МN. Відрізок E₂F₂ – це вихідна проекція відрізка EF. Тому через точку N₂ проводимо паралельно E₂F₂ відрізок N₂M₂. Маємо точку М₂ і за лінією зв’язку знаходимо точку M₁. Відрізок MN(M₁N₁, M₂N₂) – це шуканий спільний перпендикуляр

Дата добавления: 2014-01-05